Контроль знаний и умений учащихся по математике в школе

небольшими остановками (это дает учащимся возможность что – то исправить и

сделать дополнения)

Правильные ответы записываются на доске. Ученики могут проверить диктант

самостоятельно у соседа по парте.

В 5-7 классах все работы проверяются учителем. Этот метод проверки реже

используется в старших классах.

С помощью математического диктанта можно проверить знание учащимися

формулировок, определений, свойств, теорем, формул, умения и навыки в их

использовании.

п.6.1.3. Организация самостоятельных работ

При изучении математики важно, чтобы учащиеся не только знали

теоретический материал, но и умели применять его к решению задач и

упражнений, обладали бы рядом навыков (вычислительными навыками, умениями

преобразовывать выражения и т.д.). Эти умения и навыки могут быть по

настоящему проверены только в письменной работе. Обычно самостоятельные

работы проводятся после коллективного решения задач новой темы и

предшествуют контрольной работе по этой теме.

При проведении самостоятельной работы учитель сталкивается со следующими

затруднениями:

1. Дети заканчивают работу не одновременно, поэтому целесообразно

включать в работу дополнительные задания для тех, кто работает быстрее.

2. Трудно подобрать задания одинаково посильные всем учащимся.

3. Трудно организовать проверку самостоятельных работ.

п.6.1.4. Организация контрольных работ

Контрольная работа может быть кратковременной и долговременной.

1. Перед проведением контрольной работы необходимо определить объект

контроля, цель предстоящей работы и средства контроля.

Они должны быть сообщены учащимся.

2. В зависимости от вида заданий нужно продумать, каким образом ученик

должен их оформить.

3. Учитель должен продумать что он отнесет к недочетам, а что к ошибкам.

Из этого будет складываться оценка. Критерии оценки хотя бы в общих чертах

должны быть известны учащимся.

4. Контрольная работа должна быть посильной для всех учащихся без

исключения. Сильным ученикам нужно дать задания труднее.

5. Каждой контрольной работе должна предшествовать самостоятельная

работа с аналогичными упражнениями.

6. Анализ контрольной работы необходимо проводить сразу, для этого

необходимо завершать работу за несколько минут до звонка. Желательно

фрагменты решения разобрать сразу после написания работы, потому что на

следующий день или позже учащиеся уже теряют интерес к содержанию работы и

многие интересуются только оценкой.

7. Обязательно нужно проводить количественный и качественный анализ

контрольной работы.

Данные количественного анализа удобно представлять в виде таблицы

[pic]

Но данные количественного анализа не позволяют установить уровень

владения материалом конкретного ученика.

Такую возможность представляет качественный анализ. Информация,

которая подвергается качественному анализу, должна включать данные о

выполнении каждого задания предложенной контрольной работы каждым учеником

класса.

Такие данные можно фиксировать в таблице.

[pic]

Содержание основной части таблицы свидетельствует об основных ошибках

учащихся, допущенных при выполнении отдельных заданий.

Анализ результатов контрольной работы может способствовать получению

выводов об особенностях своей деятельности по организации усвоения

школьниками учебного материала.

п.6.2. Машинные средства проверки

Для контроля знаний учащихся используют персональный компьютер. Для

контроля знаний учащихся удобно применять типовые расчеты, которые включают

наиболее характерные задания базового курса математики.

Перечислим некоторые преимущества использования компьютера для создания

типовых расчетов:

1.Однотипные задания печатаются в любом количестве неповторяющихся

вариантов;

2.Варианты, созданные с помощью компьютерных программ, проверяются

значительно быстрее, так как компьютер может предоставить ответы к каждому

заданию;

3.Компьютерные типовые задания удобны для отработки необходимых навыков с

отстающими учащимися (учитель не тратит время на подбор однотипных заданий

для отработки определенных навыков);

4.Учащиеся с огромным интересом работают с такими заданиями, особенно, если

карточка с заданием индивидуальна и ученик может работать в ней.

Глава II

Использование различных форм контроля на уроках математики.

Одним из существенных моментов в организации обучения является

контроль за знаниями и умениями учащихся. От того, как он организован, на

что нацелен существенно зависит содержание работы на уроке, как всего

класса в целом, так и отдельных учащихся. Вся система контроля знаний и

умений учащихся должна планироваться таким образом, чтобы охватывались все

обязательные результаты обучения для каждого ученика. Одновременно в ходе

контроля надо дать учащимся возможность проверить себя на более высоком

уровне, проверить глубину усвоения материала. В ходе изучения темы учитель

проверяет результаты обучения путем проведения текущих самостоятельных

работ, устного опроса, контрольных работ и других форм контроля

§1. Описание зачетной системы при изложении темы

“Тела вращения”.

Зачетная система включает в себя не только проведение зачетов, но и

предусматривает построение системы уроков.[12]

В этом параграфе рассмотрим, как используется эта система для

контроля знаний и умений учащихся по теме ”Тела вращения”. Эта система

контроля была опробована в школе №121 под руководством учителя Н.В.

Алякринской.

Основная цель изучения темы – познакомить учащихся с простейшими

телами вращения и их свойствами.[20, c.165]

Рассмотрением простейших тел вращения завершается формирование системы

основных пространственных геометрических фигур, изучаемых в школьном курсе

стереометрии; в рассмотрение вводятся цилиндр, конус, шар и сфера.

Одновременно с определением конкретного тела вращения даются определения

большого числа понятий связанных с ним, усвоение которых должно идти не по

линии формального воспроизведения их определений, а в ходе решения

содержательных геометрических задач. В ходе их решения повторяются и

систематизируются сведения известные учащимся из курсов планиметрии и

стереометрии. При решении типичных задач этого раздела ученики должны

вычислять основные элементы данных тел (цилиндр, конус, шар), площади

сечений, используя свойства осевых сечений, свойства тел вращения.[18, c.

211]

При изложении темы “Тела вращения” учителем используется другое поурочное

планирование (не как в [19]):

1. лекция “Тела вращения” – 1 час

2. уроки – практикумы:

“цилиндр” – 2 часа

“конус” – 3 часа

“шар, сфера” - 3 часа

3. семинар по теме “Шар. Сфера” – 1 час

4. зачет по теме “Тела вращения” – 1 час

5. подготовка к контрольной работе – 1 час

6. контрольная работа – 1 час

п.1. лекция “Тела вращения”

цели урока – лекции:

1. Познакомить учащихся с понятиями: цилиндр, конус, шар, сфера, с их

основными элементами.

2. Выяснить знания учащихся по теме “Круг. Окружность”.

3. Развить пространственное воображение.

Ход урока:

I.Оргмомент.

II.Подготовка к изучению нового материала.

Перед тем, как изложить новый материал, необходимо проверить знания по

теме “Круг. Окружность”, которые нам потребуются при изучении темы “Тела

вращения”. В ходе фронтального опроса учащимся предлагается ответить на

следующие вопросы:

1. Назовите знакомые вам фигуры вращения (круг, окружность)

2. Чем отличается круг от окружности?

3. Дан отрезок АВ. Какая фигура получится при вращении вокруг точки А

точки В? (окружность)

5. Какую фигуру образует отрезок АВ при вращении его вокруг точки А? (круг

с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АВ)

6. Какой многоугольник называется вписанным (описанным) в окружность?

III. Изложение нового материала.

Новый материал излагается в виде лекции по схеме:

1. определение тела вращения

2. основные элементы

3. сечения

4. вписанные и описанные многогранники

Цилиндр

1. Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной

плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков,

соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг стороны.

2. прямая OO[pic] - ось цилиндра

отрезок OO[pic]- высота,

отрезок АА[pic]= ВВ[pic] - образующая

круг (О,ОВ) =кругу (O[pic], O[pic]В[pic]) – основание цилиндра

3. а) осевое сечение (проходит через ось) есть прямоугольник

б) сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой

прямоугольник

в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, представляет

собой круг

4. а) призмой вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой

плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми

ребрами – образующие.

б) Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость проходящая

через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения,

содержащей эту образующую.

Призма описана около цилиндра, если у нее плоскостями оснований являются

плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

II. Конус

1. Конус – тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки,

не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков,

соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

2. т. S – вершина конуса

круг(О,ОА) – основание конуса

SA=SB – образующие конуса

Отрезок SO – высота конуса

Прямая SO – ось конуса

3. а) осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник

б) сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину – равнобедренный

треугольник

в) сечение конуса плоскостью, перпендикулярно оси симметрии – круг

4. а) вписанная пирамида – пирамида, основание которой есть

многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, вершина – вершина

конуса, боковые ребра пирамиды – образующие конуса

б) Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая

через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения,

содержащей эту образующую.

Описанная пирамида – пирамида, у которой основанием служит многоугольник,

описанный около основания конуса, вершина – вершина конуса, боковые грани –

касательные плоскости конуса.

Шар. Сфера

1. Шар – тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на

расстоянии не больше данного от данной точки.

Сфера – граница шара.

Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

2. т. О – центр шара

ОА=ОВ – радиус шара

АВ – диаметр

3. а) Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является

основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

б) плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение

сферы – большой окружностью.

4. Плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная

радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А

– плоскостью касания.

а) многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на

поверхности шара.

б) многогранник называется описанным около шара, если все его грани

касаются поверхности шара.

IV. Закрепление нового материала.

Для того, чтобы выяснить, как учащиеся усвоили новый материал, им

предлагается ответить на следующие вопросы, ответы на которые обсуждаются

всем классом:

1. Укажите среди окружающих вас предметов в природе, технике объекты,

имеющие формы цилиндра, конуса, шара

2. При вращении каких фигур получаются цилиндр, конус, шар, сфера?

3. При помощи моделей покажите и назовите основные элементы цилиндра,

конуса, шара

V. Сообщение домашнего задания.

VI. Подведение итогов урока.

п.2. Различные формы контроля на уроках – практикумах

В этом пункте остановимся, на различных формах контроля, которые

применяются на практических занятиях.

Известно, что чертеж является основным средством иллюстрации, развития

пространственного воображения.

Для экономии времени на уроке и увеличении объема решаемых задач был

разработан шаблон для изображения тел вращения.[16] Этот шаблон

предназначен для изображения конуса и цилиндра, где заштрихованные части

шаблона (а), (б), (в), (г) вырезаются. Так например, если мы обведем

основания (а) и (б) и проведем касательные к ним, то получим изображение

цилиндра. Если же обведем одно из оснований (а) или (б), (в), (г) и

заштрихуем точку S, из нее проведем касательные к этим окружностям, то

получим изображение конуса.

п.2.1. Тема “Цилиндр”

Приведем в этом пункте краткие конспекты уроков по теме “Цилиндр”.

Урок 1. Тема “Цилиндр”.

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить знания по теме “Основные элементы цилиндра”.

3. Научить применять полученные знания к решению задач.

4. Закрепить знания по теме “Сечения цилиндра”.

Ход урока:

I. Оргмомент

II. Программированный опрос по теме “Основные элементы цилиндра”.

Цель программированного опроса – проверить как учащиеся усвоили тему.

Это задание высвечивается на экран с помощью кадоскопа. Учащиеся имеют два

листочка, на которых пишут ответы на вопросы. Один листок сдается учителю,

второй остается у ученика.

Приведем один из вариантов.

На рисунке изображен цилиндр. Найдите:

I Радиус основания:

1. АВ 2.ВС 3.ВВ[pic] 4.DA

II Высоту

1. DC 2.DA[pic] 3.AA[pic] 4.B[pic]A[pic]

III образующую 1.BB[pic] 2.CD 3.BA 4.B[pic]C

IV осевое сечение 1.ADCB 2.ABB[pic]A[pic] 3.A[pic]B[pic]CD

4.BCDA[pic]

V основание 1.ABB[pic]A[pic] 2.кр(B,BB[pic]) 3.кр(C,CB) 4. кр(C,BC)

После проведения такого опроса ученики сдают свои листки с ответами, а по

копиям сверяют ответы высвечиваемые с помощью кадоскопа. Все оценки за эту

работу выставляются в журнал.

III. Расширение и углубление знаний, умений и навыков учащихся.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока, из которой

предлагается выгнуть прямоугольник.

Закрепив его на штыре, они вращают его вокруг одной из его сторон.

Вращая его, они получают наглядное представление о цилиндре.

IV. Решение задач по теме “Сечение цилиндра, его основные элементы”.

На этом этапе ученики решают задачи на нахождение основных элементов

цилиндра, вычисляют площади сечений. В ходе решения задач требуется

вспомнить некоторые сведения из планиметрии и стереометрии. В связи с этим

ученикам предлагается ответить на следующие вопросы:

1. 1. Какая фигура лежит в основании цилиндра?

2.Что такое осевое сечение цилиндра?

3. Что называется sin[pic], cos [pic]? Чему равен sin 30[pic], sin 60[pic],

cos 30[pic], cos 60[pic]

2. Какая фигура является сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси?

3. Цилиндр катится по плоскости. Какая фигура получается при движении его

оси?

4. Чему равна площадь прямоугольника?

Кроме предложенных в учебнике Погорелова задач, на уроке используются

задачи взятые из других источников.[9]

V. Сообщение домашнего задания

VI. Подведение итогов урока

Урок 2. Тема “Цилиндр”.

Цели урока:

1. Закрепить основные понятия по темам “Сечения цилиндра”, “Вписанные,

описанные многогранники”.

2. Совершенствовать навыки решения задач по теме “Сечения цилиндра”.

3. Проверить умения и навыки решения задач по теме “Сечения цилиндра”.

4. Проверить практическое усвоение материала

Ход урока:

I Оргмомент

II Подготовка к изложению нового материала

Для того чтобы подготовить учащихся к решению задач по теме “Сечения

цилиндра”, а так же проведению самостоятельной работы по этой теме, в

начале урока проводится фронтальный опрос. Ученикам предлагается ответить

на вопросы альтернативного теста (ответы только “да” и “нет”).

I. Какие из следующих утверждений верны:

1. Любое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, есть

окружность, равная окружности основания.

2. Любое сечение цилиндра плоскостью, есть окружность, равная окружности

основания.

3. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по кругу,

равному основанию цилиндра.

II. Может ли осевое сечение цилиндра быть:

1. прямоугольником

2. квадратом

3. трапецией

III.

1. Какая плоскость называется касательной к цилиндру?

2. Какая призма называется вписанной в цилиндр?

3. Какая призма называется описанной около цилиндра?

III.Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока.

Задание: Выгнуть фигуру, при вращении которой получается цилиндр с

радиусом равным 10см и образующей равной 15 см.

IV. Решение задач по теме “Сечения цилиндра”, “Вписанная, описанная

призма”.

V. Сообщение домашнего задания.

VI.Самостоятельная работа по теме “Сечения цилиндра”, “Основные элементы

цилиндра”.

Задачи, предлагаемые в самостоятельной работе, соответствуют

обязательному уровню математической подготовки.[18, c.211]

I Вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна

20 см. Найдите высоту цилиндра.

2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения

цилиндра плоскостью параллельной его оси, если расстояние между этой

плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

II Вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна

20 см. Найдите площадь основания цилиндра.

2. Высота цилиндра равна 12 см, радиус основания равен 10 см.

Цилиндр пересечен плоскостью, паралельной его оси так, что в сечении

получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Все оценки за самостоятельную работу выставляются в журнал.

VI. Подведение итогов урока.

п.2.2. Тема “Конус”

По сравнению с темой “Цилиндр”, по теме “Конус” в учебнике Погорелова

имеется большее количество задач. На решение задач по теме “Конус”

отводится 3 часа.

а) “Основные элементы, сечения конуса” – 1 час

б) “Сечения конуса. Усеченный конус” – 1 час

в) “Вписанные, описанные пирамиды” – 1 час

Урок 1. Тема “Конус”

Цели урока:

1.Развить пространственное воображение.

2. Закрепить основные понятия по темам “ Основные элементы, сечения конуса

”.

3. Проверить знаний по темам “ Основные элементы конуса ”, “ Сечения конуса

”.

4. Научить учеников применять полученные знания к решению задач.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

Домашнее задание было следующим: повторить пункты 1-3 лекции “Тела

вращения”, II часть “Конус” (основные элементы, определения, сечения).

Перед тем как решать задачи по теме “Конус”, в начале урока проводится

самостоятельная работа, все оценки за которую идут в журнал.

1. Завершить предложение:

конус это тело, которое состоит из ………….

2. При вращении какой фигуры получается конус?

3. Сделать чертеж конуса, указать его основные элементы: вершину,

основание, образующие, высоту, ось конуса.

4. Как надо пересечь конус плоскостью, чтобы в сечении получить:

а) равнобедренный треугольник

б) круг

III. Расширение и углубление знаний, умений и навыков учащихся.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока, из которой

предлагается выгнуть треугольник.

Закрепив его на штыре они вращают его вокруг его стороны. Вращая его

так, они получают наглядное представление о конусе.

IV. Решение задач по темам “ Основные элементы конуса ”, “ Сечения конуса

”.

В ходе решения задач ученикам задаются следующие вопросы:

1. Чему равна площадь круга? (Sкр = [pic]R[pic])

2. Чему равна площадь треугольника (S = [pic]ab sin[pic] )

3. Что называется sin[pic] , cos[pic] в прямоугольном треугольнике?

4. Сформулируйте теорему Пифагора

V Сообщение домашнего задания.

V. Подведение итогов урока.

Урок 2. Тема “Сечения конуса. Усеченный конус”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Совершенствовать навыки решения задач.

3. Проверить навыки решения задач по теме “Сечения, основные элементы

конуса ”.

4. Проверить практическое усвоение материала.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока.

Задание: Выгнуть фигуру при вращении которой получается конус с радиусом

равным 5см и образующей равной 13 см.

IV Решение задач по теме “Сечения конуса”.

На этом уроке решаются задачи на сечение конуса, проходящего через

вершину конуса, а так же сечения конуса плоскостью перпендикулярной оси

симметрии конуса. В ходе решения задач ученикам задаются следущие вопросы:

1. Какой конус является усеченным?

2. Назовите основные элементы усеченного конуса.

3. Какой должна быть высота конуса, осевое сечение которого имеет ту же

площадь, что и его основание.

4. Основные отношения в прямоугольном треугольнике: sin[pic] , cos[pic],

tg[pic].

5. Сформулируйте теорему Пифагора.

V Сообщение домашнего задания.

VI Самостоятельная работа по теме “Сечения конуса. Основные элементы конуса

”.

С целью улучшения качества решения задач используются тесты при

проведении самостоятельной работы.

Учащимся выдаются карточки, в которых предлагается решить задачи по

готовому чертежу, заполнив пропуски в первой задаче, и ответить на вопросы

во второй задаче.

Приведем пример этой работы:

Задача 1. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания

под углом [pic]. Найдите площадь основания конуса, если [pic]= 30[pic].

Дано: конус, SA=SB=12 см, [pic]SBO=30[pic]

Найти: S[pic]

Решение:

1. [pic]SOB – прямоугольный, в нем катеты – 1, гипотенуза – 2

2. [pic]= cos30[pic] OB = 3,

ОВ = R (радиус основания)

3. В основании конуса лежит 4

4. S[pic]=[pic]R[pic] S[pic] = 5 (см[pic])

Ученики на листках записывают ответы с 1 по 5. После этого карточка ответов

выглядит следующим образом:

1. SO, OB

2. SB

3. SB cos30[pic]=[pic] 12 = 6[pic]

4. Круг

5. 72[pic]

Задача 2. Осевое сечение конуса – правильный треугольник, со стороной 2r .

Найти площадь сечения проведенного через две образующие конуса, угол между

которыми равен 60[pic].

Дано: [pic]SAB – правильный, SA=SB=AB=2r,

[pic]CSD = 60[pic]

Найти: S[pic]CSD

Решение:

1. Какая фигура является сечением конуса плоскостью, проходящей через его

вершину?

2. Чему равны стороны SC и SD треугольника [pic]CSD ?

3. Выразить площадь треугольника через стороны треугольника и угол между

ними.

4. Чему равна площадь сечения (записать ответ).

VII Подведение итогов

Урок 3. Тема “Конус”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Закрепить понятия по теме “Вписанные, описанные пирамиды”.

3. Решить задачи по теме “ Вписанные, описанные пирамиды ”.

4. Проверить навыки решения задач по теме “Сечения цилиндра”.

5. Проверить практическое усвоение материала.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Подготовка к изучению нового материала.

Перед тем, как решать задачи по теме “Вписанные, описанные пирамиды”,

учащиеся отвечают на следующие вопросы:

1. Что такое касательная плоскость к конусу?

2. Какая пирамида называется вписанной в конус?

3. Какая пирамида называется описанной около конуса?

IV Применение учащимися знаний в различных конкретных ситуациях.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока.

Задание: Выгнуть фигуру, при вращении которой получается усеченный конус;

фигуру при вращении которой получается конус, поставленный на цилиндр.

V Решение задач

На этом уроке решаются задачи по темам “Сечения конуса”, “Вписанные,

описанные пирамиды ”.

VI Сообщение домашнего задания

VII Самостоятельная работа

В конце урока проводится самостоятельная работа общепринятого

характера по теме “Сечения конуса”. В этой работе учащимся предлагается

самим решить задачи без помощи учителя.

1. Радиус основания конуса 6 см (10 см). Через середину высоты проведено

сечение параллельно основанию. Найти площадь сечения. Ответ:

9[pic](2[pic]).

2. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 5:3, образующая равна

17 см (10 см), высота – 15 см (8 см). Найти площадь осевого сечения

конуса. Ответ: 480 см[pic] (192 см[pic]).

С целью развития навыков самообразования и самоконтроля учащимся сразу

даются ответы к задачам.

VIII Подведение итогов

п.2.3. Тема: “Шар. Сфера”

На решение задач по теме “Шар. Сфера” отведено 3 часа.

Из них:

1. “Сечение шара” – 1 час

2. “Касание шара” – 1 час

3. “Вписанные, описанные многогранники” – 1 час

Урок 1. Тема “Сечение шара”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить знания по теме “Основные элементы шара. Сечение шара”.

3. Научить учащихся применять полученные знания к решению задач.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Подготовка к решению задач.

Перед тем, как решать задачи, необходимо выяснить как учащиеся усвоили

теорию по теме “Шар. Сфера”(определения, основные элементы, сечения). С

этой целью проводится викторина. Учитель предлагает ученикам ответить на

следующие вопросы:

1. Что называется шаром?

2. Что такое сфера?

3. При вращении какой фигуры получается шар?

4. Что называется радиусом шара, диаметром шара?

5. Сделать чертеж шара. Показать на нем основные элементы шара.

6. Каким свойством обладают все точки поверхности шара?

7. Найти геометрическое место точек, удаленных от данной точки на

расстояние, которое меньше или равно 10 см (шар радиусом 10 см).

8. Какая фигура является сечением шара плоскостью?

9. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?

Ученики отвечают на вопросы с места, обсуждая каждый вопрос викторины. За

более правильный, точный ответ учащиеся получают красный жетон, если же в

ответе есть какие-то неточности, то выдается зеленый жетон. В том случае,

если ученик дополнял ответы, то ему выдается синий жетон. В конце урока

подводится итог. Наиболее активным ученикам выставляются оценки в журнал.

IV Расширение и углубление знаний, умений и навыков учащихся.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока, из которой

предлагается выгнуть полуокружность с радиусом 15 см.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг диаметра. Вращая ее так,

они получают наглядное представление о сфере.

V Решение задач по теме “Сечения шара”.

В ходе решения задач учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Какая фигура называется кругом. Окружностью.

3. Чему равна площадь круга?

4. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

5. Как выражается через стороны треугольника и радиус описанной окружности

площадь треугольника? (S[pic]=[pic])

6. Чему равна площадь треугольника по формуле Герона?

(S = [pic] , p = [pic])

VI Сообщение домашнего задания.

VII Подведение итогов урока.

Урок 2. Тема “Касания шара”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить навыки решения задач по теме “Сечение шара”.

3. Закрепить знания по теме “Касания шара”.

4. Совершенствовать навыки решения задач по теме “Шар. Сфера”.

5. Проверить практическое усвоение материала.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

На дом учащимся было задано 4 задачи по теме “Сечение шара”. Для

проверки усвоения этой темы, а также правильности выполнения домашнего

задания, проводится самостоятельная работа, содержащая такие же задачи, как

в домашнем задании.

Приведем один из вариантов.

I Вариант

Задача 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36[pic](м[pic]). Радиус

шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Дано: шарS(O,OX) S[pic]= 36[pic](м[pic]) , R = OX = 10 м

Найти: ОО[pic]

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S[pic]= [pic]r[pic]

36[pic] = [pic]r[pic] [pic] r[pic]= 36 (м[pic])

2. [pic]ОО[pic]Х – прямоугольный

ОО[pic] = h , O[pic]X = r , OX = R

h[pic]= R[pic]- r[pic] - т. Пифагора

h[pic]=100 – 36 =64, h = 8 м

Ответ: h = 8м

Задача 2. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между

которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти

точки.

Решение:

1. Пусть А, В, С – три данных точки. Рассмотрим сечение шара плоскостью.

Это будет круг, окружность которого описана около [pic]АВС; R – радиус

окружности, описанной около [pic]АВС R = [pic]

2. S[pic]= [pic] p = [pic] ; p = [pic] = 9(см)

S[pic]= [pic] = 9[pic] (см[pic])

3. R = [pic] = [pic] (см)

4. Любое сечение шара плоскостью – круг

S[pic]=[pic]R[pic] S[pic]= [pic]= 12[pic](см[pic])

Ответ: S[pic]= 12[pic](см[pic])

После того, как ученики сдали листочки с ответами, учитель открывает

на доске ответы. Учащиеся проверяют решения в тетрадях друг друга. Все

оценки за эту работу выставляются в журнал.

III Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока разных цветов.

Задание: Из проволоки разных цветов выгнуть фигуру при вращении которой

получится сфера и вписанный в нее цилиндр.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг оси. Вращая ее так, они

получают наглядное представление о вписанном цилиндре.

IV Решение задач по теме “Касательная плоскость к шару”.

В ходе решения задач учащимся задаются следующие вопросы:

1. Какая плоскость называется касательной к шару?

2. Сколько общих точек с шаром имеет касательная плоскость?

3. Какая прямая называется касательной к шару?

4. Сколько можно провести прямых, касающихся поверхности шара в одной и той

же точке? (бесчисленное множество)

5. Чему равна площадь круга?

V Сообщение домашнего задания

VI Подведение итогов урока

Урок 3. Тема “Вписанные и описанные многогранники”

Цели урока:

1. Развитие пространственного воображения

2. Закрепление основных понятий по теме “ Вписанные и описанные

многогранники ”

3. Научить применять полученные знания при решении задач

4. Проверить практическое усвоение материала

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

Используется следующая форма проверки домашнего задания – самопроверка

по образцу. На доске выписана задача из домашнего задания с решением.

Учащиеся проверяют свои решения по образцу.

№ 40 Погорелов

Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости

треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус

шара 5 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 13, 14, 15 см

S[pic]=[pic] p = [pic] ; p = [pic]= 21(см)

S[pic]=[pic]= 84 (см[pic])

2. S[pic]АВС = pr , где r – радиус вписанной окружности

S[pic]= 21r 84 = 21r [pic] r = 4 см

3. h[pic] =R[pic]- r[pic] - т. Пифагора

h = [pic] = 3 (см)

Ответ: h = 3 (см)

Проверка домашнего задания имеет 2 цели:

1. Проверка правильности выполнения домашнего задания

2. Подготовка учащихся к самостоятельной работе

III Самостоятельная работа

В учебнике Погорелова [19] есть 2 важные теоремы (сечение шара

плоскостью и касательная плоскость к шару), знание которых необходимо

проверить. Поэтому в самостоятельную работу включаются эти теоремы, которые

ученики должны доказать. Кроме этого в самостоятельную работу включена

задача обязательного уровня математической подготовки.

Приведем II вариант самостоятельной работы.

1. Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую

точку – точку касания.

2. Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости

треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус

шара равен [pic] (см)

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 5, 5, 6 см

S[pic]=[pic] p = [pic] ; p = [pic]= 8(см)

S[pic]=[pic]= 12 (см[pic])

2. S[pic]АВС = pr , где r – радиус вписанной окружности

S[pic]= 8r (см[pic]) 12 = 8r [pic] r = 1[pic] см

3. h[pic] =R[pic]- r[pic] - т. Пифагора R - радиус шара

h = [pic] = [pic] = 2(см)

Ответ: h = 2 (см)

IV Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока разных цветов.

Задание: Из проволоки разных цветов выгнуть фигуру при вращении которой

получится сфера и вписанный в нее конус.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг оси. Вращая ее так, они

получают наглядное представление о вписанном конусе.

V Решение задач по теме “Вписанные, описанные многогранники”

VI Сообщение домашнего задания

VII Подведение итогов урока

п.3. Урок – семинар по теме “Шар. Сфера”

Семинар по теме “Шар. Сфера” предназначен для углубленного изучения

материала. Семинар – это активная форма обучения, на нем учащиеся учатся

рассуждать, обобщать, отстаивать свою точку зрения, а учитель лишь

корректирует их мысли и идеи. К семинару ученики подготавливаются

самостоятельно. Один из учеников готовится по литературе предлагаемой

учителем, а остальные прорешивают задачи по рекомендуемой литературе.

Учитель на данном семинаре только слушает учащихся и исправляет ошибки.

Всем учащимся принявшим активное участие в проведении этого урока

выставляются оценки. Кроме того в конце урока проводится обучающая

самостоятельная работа, оценки за которую выставляются только

положительные.

Приведем I вариант этой работы.

1. Даны точки А(-3;1,5;-2) и B(3;-2,5;2). Отрезок АВ является диаметром

сферы.

а) запишите уравнение сферы

б) принадлежит ли сфере точка с координатами ([pic];-1,5;3) ,(3;2,5;1)

Ответ: а) x[pic]+(y + 0,5)[pic]+ z[pic]=17

б) да, нет

3. Доказать, что т.А(4;-2;1) принадлежит сфере x[pic]+ y[pic]+ z[pic]=21

п.4 Подготовка и проведение зачета по теме “Тела вращения”

В самом начале изучения темы “Тела вращения” учитель сообщает, что в

завершении будет проводится зачет. Вопросы к зачету заранее. Всего вопросов

15, из них 5 по теме “Цилиндр”, 5 по теме “Конус” и 5 по теме “Шар. Сфера”.

Из числа сильных учащихся выбираются трое помощников учителя, которые будут

принимать зачет у остальных учеников класса. Эти помощники заранее сдают

учителю зачет, по тем же вопросам. Они же изготавливают карточки с

вопросами по числу учащихся в классе, которые будут сдавать зачет.

Вопросы к зачету:

I Ответить на вопросы по теме “Цилиндр”

1. Определение цилиндра. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными

изображениями)

2. По чертежу показать и назвать основные элементы цилиндра

3. Как получить цилиндр вращением? Сделать чертеж

4. Сечение цилиндра плоскостями(перечислить, сделать чертеж)

5. Доказать, что осевое сечение цилиндра есть прямоугольник

II Ответить на вопросы по теме “Конус”

1. Определение конуса. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными

изображениями)

2. По чертежу показать и назвать основные элементы конуса

3. Как получить конус вращением? Сделать чертеж

4. Назвать и показать сечение конуса разными плоскостями

5. Доказать, что сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через 2

его образующие, представляет собой равнобедренную трапецию

III Ответить на вопросы по теме “Шар. Сфера”

1. Определение шара, сферы. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными

изображениями)

2. По чертежу показать и назвать основные элементы шара

3. Доказать, что пересечение шара плоскостью есть круг

4. Доказать, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую

точку – точку касания

5. Уравнение сферы в прямоугольной системе координат

Зачет по теме “Тела вращения”

Урок – “Вертушка”

Цели урока:

1. проверить знания по данной теме

2. закрепить основные понятия

3. развить память, самостоятельность мышления учащихся

Оборудование: карточки с вопросами, зачетный лист учащихся

Подготовка к уроку:

. класс разбивается на пятерки; из числа сильных учащихся выбираются трое

экспертов

. столы ставятся по два, та чтобы за ними могли сидеть по 5 человек

Ход урока:

Эксперты занимают свои места. Затем группы учащихся распределяются за

каждый стол. Эксперты раздают каждому учащемуся карточку с вопросами, на

которые они письменно отвечают.

После того, как группа ответила первому эксперту, она переходит ко

второму, а от него к третьему. На ответы ученикам отводится по 10 минут и 3

минуты эксперты подводят итоги, выставляя оценки в зачетный лист учащегося.

|Фамилия |Иванов М. 11А класс |Итоговая|

| | |оценка |

|вопросы |Тема |Тема |Тема | |

| |цилиндр|конус|шар, | |

| | | |сфера | |

|1 вопрос |+ |+ |+ | |

| | | | |4 |

|2 вопрос |+ |+ |+ | |

|3 вопрос |+ |+ |- | |

|4 вопрос |+ |[pic]|+ | |

|5 вопрос |+ |- |+ | |

|Итоговая |5 |4- |4 | |

|оценка | | | | |

Как только эксперты выставят свои оценки учащимся за каждую тему,

учитель собирает зачетные листы и выставляет итоговые оценки за тему “Тела

вращения”. На все ответы за столами отводится 40 минут, на подведение

итогов и выставление оценок в журнал – 5 минут. Во время игры учитель ходит

от стола к столу, делает для себя пометки и выводы.

Во время зачета учащиеся закрепляют основные понятия темы “Тела

вращения”, тем самым подготавливают себя к контрольной работе.

п.5 Контрольная работа по теме “Тела вращения”

Контрольная работа по теме “Тела вращения” проводится после зачета, а

так же урока посвященного подготовке к контрольной работе. Контрольная

работа проводится в двух вариантах.

Ниже приведем II вариант этой работы.

1 Задание. Образующая конуса равна 18 см. Угол между образующей и

плоскостью основания 60[pic]. Найти высоту и площадь основания конуса.

Дано: конус, SA=18 см.; [pic]SAO = 60[pic]

Найти: SO, S[pic]

Решение:

1. [pic]SAO – прямоугольный

[pic]= sin 60[pic], SO = SA sin 60[pic],

SO = 18[pic] (см)

2. [pic], АО = SA cos 60[pic], R=AO = 18[pic] = 9 (см)

3. В основании конуса лежит круг[pic]

S[pic]=[pic]R[pic], S[pic]=81[pic](см[pic])

Ответ: SO = [pic] (см) ; S[pic]=81[pic](см[pic])

2 Задание. Шар радиус которого равен 6 см, пересечен плоскостью. Расстояние

от центра шара до этой плоскости 4 см. Найти площадь сечения.

Дано: шарS(O,OX), R=OX=6 см, h =OO[pic]= 4см

Найти: S[pic]

Решение: 1. [pic] OO[pic]Х – прямоугольный

r = O[pic]X , O[pic]Х[pic]= OХ[pic]- OO[pic]- т. Пифагора

O[pic]Х[pic]= 36 – 16 = 20 (см[pic])

2. S[pic]=[pic]r[pic], так как любое сечение шара плоскостью шара есть

круг. S[pic]=20[pic](см[pic])

Ответ: S[pic]=20[pic](см[pic])

3 Задание. Внутри цилиндра с радиусом основания 4 дм и высотой 6 дм

расположен отрезок так, что его концы лежат на окружностях обоих оснований.

Найти кратчайшее расстояние отрезка от оси, если его длина 8 дм.

Дано: цилиндр, А[pic]В = 8 дм; ОО[pic] = АА[pic] = ВВ[pic] =6 дм; ОА=ОВ=4

дм

Найти: ОК

Решение:

Прямые А[pic]В и ОО[pic] - скрещивающиеся. Расстояние между ними – длина

общего перпендикуляра прямых ОО[pic] и АВ.

Дополнительное построение – построим через А[pic]В плоскость, параллельную

прямой ОО[pic]. Искомый перпендикуляр – ОК.

2. [pic]АА[pic]В - прямоугольный

АВ[pic]=А[pic]В[pic] - АА[pic]- т. Пифагора.

АВ[pic]= 64 – 36 = 28; АВ = 2[pic](дм)

3. [pic]АОК - прямоугольный

АК = [pic] = [pic] = [pic](дм), так как ОК в [pic]АОВ является медианой,

биссектрисой, высотой.

ОК[pic] = АО[pic]- АК[pic]- т. Пифагора; ОК[pic] = 16 – 7 =9; ОК =

3(дм)

Ответ: ОК = 3(дм)

Краткие выводы

Задание 1 и 2 контрольной работы соответствуют обязательному уровню

математической подготовки. Оценка 5 (отлично) за контрольную работу

ставится в том случае, если выполнены все 3 задания без ошибок и помарок.

Оценка 4 (хорошо) ставится, если первые два задания выполнены без ошибок, а

в третьем есть какая-то ошибка или же оно выполнено не до конца с условием,

что в нем нет ошибок. Оценка 3 (удовлетворительно) ставится, если выполнено

правильно только 2 задания.

Этот текст контрольной работы проводился как в 11Б (экспериментальный), так

и в 11А (уроки велись по обычному плану) классах. Проанализируем результаты

выполнения учащимися контрольной работы. Нам необходимо установить общую

картину, характеризующую усвоение учащимися изученного материала. Для этого

приведем количественный анализ, который представлен в виде таблицы.

|1 |2 |3 |4 |5 |

|Класс |Кол-во |Кол-во учащихся |Отметка |Средний |

| |учащихся |писавших работу | |балл |

| |в классе | | | |

| | | |5 |4 |3 |2 |1 | |

|11А |20 |18 |2 |6 |9 |1 |- |3.5 |

|11Б |24 |20 |5 |12 |3 |- |- |4.1 |

Как видно из таблицы, средний балл в 11Б классе выше, чем в 11А. Из

анализа контрольной работы видно, что зачетная система дает положительные

результаты.

По результатам контрольной работы, можно сделать вывод, что выдвинутая

гипотеза на практике оказывается верной.

Таким образом наша методика оправдала себя на практике, не требует

затрат, значительно повышает качество изучаемого материала.

Заключение

Систематический контроль знаний и умений учащихся – одно из основных

условий повышения качества обучения. Учитель математики в своей работе

должен использовать не только общепринятые формы контроля (самостоятельная

и контрольная работы, устный опрос у доски и т.д.), но и систематически

изобретать, внедрять свои средства контроля. Умелое владение учителем

различными формами контроля знаний и умений способствует повышению

заинтересованности учащихся в изучении предмета, предупреждает отставание,

обеспечивает активную работу каждого ученика. Контроль для учащихся должен

быть обучающим.

В результате проведения нетрадиционных форм контроля знаний и умений

раскрываются индивидуальные особенности детей, повышается уровень

подготовки к уроку, что позволяет своевременно устранять недостатки и

пробелы в знаниях учащихся.

Литература

1. Амонашвили Ш. А.

Обучение. Оценка. Отметки. – М: Знание, 1980.

2. Педагогика: учебное пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред.

Бабанского Ю.К – М: Просвещение, 1988.

3. Баймуханов Б. Б.

Тематический контроль и учет знаний // Математика в школе, 1989 №5.

4. Борода Л.Я.

Некоторые формы контроля на уроке // Математика в школе, 1988 №4.

5. Вахламова А. П., Рабунский Е. С.

О систематической взаимопроверке знаний учащихся на уроках

// Математика в школе, 1979 №1.

6. Груденов Я. И.

Совершенствование методики работы учителя математики – М: Просвещение,

1990.

7. Дакацьян У. В.

Проверка знаний учащихся по математике – М: Академия педагогических наук

РСФСР, 1963.

8. Денищева Л. О., Кузнецова Л. В., Лурье И.А. и др.

Зачеты в системе дифференцированного обучения математики – М: Просвещение,

1993.

9. Зив Б. Г.

Задачи к урокам геометрии: 7-11 кл. – М: Русское слово, 1998.

10. Ильина Т. А.

Педагогика: курс лекций: учебное пособие для студентов пед. ин-тов.– М:

Просвещение, 1984.

11. Калинина М.И.

К вопросу о контроле и оценке знаний учащихся/ сб. статей “Организация

контроля знаний учащихся в обучении математики”, сост. Борчугова З. Г.,

Батий Ю. Ю. – М: Просвещение, 1980.

12. Колобова Е. В.

Использование зачетной системы для контроля и оценки знаний учащихся //

Математика в школе , 1991 №3.

13. Качество знаний учащихся и пути его совершенствования / Под ред.

Скаткина М.Н., Краевского М.Н. – М: Педагогика, 1978.

14. О совершенствовании методов обучения математики / Сб. статей сост.

Крамор В. С. – М: Просвещение, 1978.

15. МПМ в средней школе. Частная методика / Сост. Мишин В. И. – М:

Просвещение, 1987.

16. Литвиненко В. Н.

Трафареты для изображения пространственных фигур // Математика в школе,

1990 №2.

17. Петровский Е. И.

Проверка и оценка знаний учащихся – М: АПН РСФСР, 1960.

18. Планирование обязательных результатов обучения математике / сост. В. В.

Фирсов – М: Просвещение, 1989.

19. Погорелов А.В.

Геометрия 7–11 – М: Просвещение, 1991.

20. Программы общеобразовательных учреждений. Математика – М: Просвещение,

1994.

21. Скобелев Г. Н.

Контроль на уроках математики – Минск: Народная асвета, 1986.

22. Современные основы школьного курса математики. / Н. Я. Виленкин, К. И.

Дудничев, Л. А. Калужнин, А. А. Столяр. – М: Просвещение, 1980.

23. Утеева Р. А.

Групповая работа как одна из форм деятельности учащихся на уроке //

Математика в школе, 1985 №2.

24. Харламов И. Ф.

Педагогика. Курс лекций. – Минск, 1979.

25. Шаталов В. Ф.

Куда и как исчезли тройки – М: Педагогика, 1976.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Страницы: 1, 2