Реализация эвристического обучения учащихся на уроках математики

мышление, которое осуществляется в конкретной ситуации, в процессе

практических действий с реальными предметами. У маленьких детей это

(мышление руками(. Малыш тянется к игрушке, не может её достать и после

ряда попыток использует палку или лезет на табуретку, чтобы получить

заинтересовавший его предмет.

На второй стадии преобладает наглядно-образное мышление; оно позволяет

решать задачи на основе оперирования уже не реальными предметами, а

образами восприятия и представлений, содержащимися в детском опыте. Связь

мышления с практическими действиями хоть и сохраняется, но не является

такой прямой, непосредственной, как раньше. Чтобы решать задачи ребенок

должен отчетливо воспринимать, наглядно представлять рисуемую в них

ситуацию.

На третьей, высшей, ступени развития ведущую роль в мыслительной

деятельности приобретает отвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление.

Мышление выступает здесь в форме отвлеченных понятий и рассуждений,

отражающих существенные стороны окружающей действительности, закономерные

связи между ними. Овладение в ходе усвоения основ наук понятиями, законами,

теориями оказывает значительное влияние на умственное развитие школьников.

Оно раскрывает богатые возможности самостоятельного творческого

приобретения знаний, их широкого применения на практике.

Мы полагаем, что одним из важнейших принципов развития эвристического

мышления является оптимальное (отвечающее целям обучения и психическим

особенностям индивида) развитие разных видов мыслительной деятельности: и

абстрактно-теоретического, и наглядно-образного, и наглядно-действенного,

практического мышления.

Эвристическое мышление характеризуется высокой степенью новизны

получаемого на его основе продукта, его оригинальностью. Это мышление

появляется тогда, когда человек, попытавшись решить задачу на основе ее

формально-логического анализа с прямым использованием ему известных

способов, убеждается в бесплодности таких попыток и у него возникает

потребность в новых знаниях, которые позволяют решить проблему: эта

потребность и обеспечивает высокую активность решающего проблему субъекта.

Осознание самой потребности говорит о создании у человека проблемной

ситуации (А. М. Матюшкин).

Хотя мышление как процесс обобщенного и опосредованного познания

действительности всегда включает в себя элементы продуктивности, удельный

вес ее в процессе мыслительной деятельности может быть различным. Там, где

удельный вес продуктивности достаточно высок, говорят о собственно

творческом мышлении как особом виде мыслительной деятельности. В результате

креативного мышления возникает нечто оригинальное, принципиально новое для

субъекта, т. е. степень новизны здесь высока. Условие возникновения такого

мышления — наличие проблемной ситуации, способствующей осознанию

потребности в открытии новых знаний, стимулирующей высокую активность

решающего проблему субъекта.

Нахождение искомого предполагает открытие не известных субъекту

признаков, существенных для решения проблемы отношений, закономерных связей

между признаками, тех способов, с помощью которых они могут быть найдены.

Человек вынужден действовать в условиях неопределенности, намечать и

проверять ряд возможных решений, осуществлять выбор между ними, подчас не

имея к тому достаточных оснований. Он ищет ключ к решению на основе

выдвижения гипотез и их проверки, т. е. способы опираются на известное

предвидение того, что может быть получено в результате преобразований.

Существенную роль в этом играют обобщения, позволяющие сокращать количество

той информации, на основе анализа которой человек приходит к открытию новых

знаний, уменьшать число проводимых при этом операций, (шагов( к достижению

цели.

Как подчеркивает Л. Л. Гурова, весьма плодотворным в поиске пути

решения проблемы оказывается ее содержательный, семантический анализ,

направленный на раскрытие натуральных отношений объектов, о которых

говорится в задаче. В нем существенную роль играют образные компоненты

мышления, которые позволяют непосредственно оперировать этими натуральными

отношениями объектов. Они представляют собой особую, образную логику,

дающую возможность устанавливать связи не с двумя, как при словесном

рассуждении, а со многими звеньями анализируемой ситуации, действовать, по

словам Л. Л. Гуровой, в многомерном пространстве.

Новизна проблемы диктует новый путь ее решения: скачкообразность,

включение эвристических, (поисковых( проб, большую роль семантики,

содержательного анализа проблемы. В этом процессе наряду с словесно-

логическими, хорошо осознанными обобщениями, очень важны обобщения

интуитивно-практические, не находящие сначала своего адекватного отражения

в слове. Они возникают в процессе анализа наглядных ситуаций, решения

конкретно-практических задач, реальных действий с предметами или их

моделями, что значительно облегчает поиск неизвестного, однако сам процесс

этого поиска находится вне ясного поля сознания, осуществляется интуитивно.

Вплетаясь в сознательную деятельность, будучи подчас растянутым во

времени, нередко весьма длительном, процесс интуитивно-практического

мышления осознается как мгновенный акт, как «инсайт» благодаря тому, что в

сознание сначала (прорывается( результат решения, в то время как путь к

нему остается вне его и осознается на основе последующей более развернутой,

осознанной мыслительной деятельности.

В этом процессе, как отмечают многие исследователи, нередко имеет

место внешне внезапное усмотрение пути решения — инсайт, (ага-переживание(,

причем оно часто возникает тогда, когда человек непосредственно не был

занят решением проблемы. Реально такое решение подготовлено прошлым опытом,

зависит от предшествующей аналитико-синтетической деятельности и прежде

всего — от достигнутого решающим уровня словесно-логического понятийного

обобщения (К. А. Славская). Однако, сам процесс поисков решения в

значительной своей части осуществляется интуитивно, под порогом сознания,

не находя своего адекватного отражения в слове, и именно потому его

результат, (прорвавшийся( в сферу сознания, осознается как инсайт, якобы не

связанный с ранее осуществлявшейся субъектом деятельностью, направленной на

открытие новых знаний.

В результате творческого мышления происходит становление психических

новообразований — новых систем связи, новых форм психической саморегуляции,

свойств личности, ее способностей, что знаменует сдвиг в умственном

развитии.

Итак, креативное мышление характеризуется высокой новизной своего

продукта, своеобразием процесса его получения и, наконец, существенным

влиянием на умственное развитие. Оно является решающим звеном в умственной

деятельности, так как обеспечивает реальное движение к новым знаниям.

Эвристическая деятельность или эвристические процессы, хотя и включают

в себя умственные операции в качестве важного своего компонента, вместе с

тем обладают некоторой спецификой. Именно поэтому эвристическую

деятельность следует рассматривать как такую разновидность человеческого

мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные

ранее закономерности окружающих человека объектов (или объектов изучаемой

науки).

Некоторые психологи-теоретики для того чтобы как-то обозначить эти

различия большинство исследователей предпочитают в отношении такого вида

мышления школьников употреблять термин (продуктивное мышление(, а термином

(творческое мышление( обозначать высшую ступень мыслительной деятельности,

осуществляемую теми, кто открывает принципиально новые для человечества

знания, создает нечто оригинальное, не имеющее себе аналога. Мы же так их

не различаем – для нас творческое, креативное, продуктивное, мышление –

синонимы.

Созданы целые батареи тестов, направленные на выявление указанных

особенностей мыслительной деятельности. На их основе вычисляется

специальный (коэффициент творческого потенциала детей( ((creativity().

Во многих работах о креативном мышлении основными его показателями

считаются такие, которые отражают степень отклонения от привычного решения,

преодоления (барьеров прошлого опыта(. С целью их выявления используются

искусственные проблемы, предполагающие резкое столкновение имеющегося опыта

с требованиями задачи, они предполагают необычные решения, зачастую

нарушающие то, что диктуется опытом жизни.

Креативное мышление предполагает не только широкое использование

усвоенных знаний, но и преодоление барьера прошлого опыта, отхода от

привычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированными

знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их

своеобразие, переключения от одних действий к другим, в длительной задержке

на уже известных действиях, несмотря на наличие отрицательного подкрепления

и т. д.

Для творческого решения проблем важно не только выделить требуемые

ситуацией существенные признаки, но и, удерживая в уме всю их совокупность,

действовать в соответствии с ними не поддаваясь на влияние внешних,

случайных признаков анализируемых ситуаций. Открытие принципиально новых

знаний, столь характерное для эвристического мышления, представляет собой

скачкообразный, циклический процесс, в котором в диалектически

противоречивом единстве выступают как хорошо осознанные, словесно-

логические компоненты, так и не находящие адекватного отражения в слове,

подсознательные, интуитивно-практические компоненты. Включение интуиции в

процесс поиска нового закономерно.

2. 1. Пути и условия организации эвристического обучения в школе

Мы считаем, что развитие творческого мышления у учащихся в процессе

изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед

преподавателями математики в современной школе. Основным средством такого

воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи.

Не случайно известный современный математик и методист Д. Пойа пишет: «Что

значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не

только стандартные, но и требующие известной независимости мышления,

здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

При обучении математике на решение задач отводиться б(льшая часть

учебного времени. Отсюда напрашивается вывод, что учебное время, отводимое

на решение задач в школе, используется неэффективно, а это отрицательно

сказывается на качестве обучения математике в целом.

Одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых ими при

решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в

основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой.

Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь

одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей

между различными разделами школьного курса математики. Роль и значение

таких задач исчерпываются в течении того непродолжительного периода,

который отводиться на изучение (повторение) того или иного вопроса

программы. Функция таких задач чаще всего сводиться к иллюстрации

изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому

учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда

подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой

на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения

учеником здесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знания

нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности.

К сожалению, в практике обучения математике решение задач чаще всего

рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками

программного материала. И даже задачи повышенной трудности специальных

сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном имеют целью

закрепление умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач

определенного типа. А между тем функции задач очень разнообразны:

обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие.[8; 25-47]

Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может служить многим

конкретным целям обучения. И все же главная цель задач — развить творческое

мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию»

математических фактов.

Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя

стандартные задачи, безусловно, полезны и необходимы, если они даны вовремя

и в нужном количестве. Мы считаем, что следует избегать большого числа

стандартных задач как на уроке, так и во внеклассной работе, так как в этом

случае сильные ученики могут потерять интерес к математике.

Ознакомление учащихся лишь со специальными способами решения отдельных

типов задач создают, на наш взгляд, реальную опасность того, что учащиеся

ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения

самостоятельно решать незнакомые задачи («Мы такие задачи не решали»,—

часто заявляют учащиеся, встретившись с задачей незнакомого типа).

В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы

задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка,

задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по

образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у

учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения

к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные

упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности,

общим приемам решения задач, для овладения ими методами научного познания

реальной действительности и приемам продуктивной умственной деятельности,

которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу.

Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с

помощью специально подобранных упражнений, можно учить их наблюдать,

пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие

выводы. Необходимо, как мы считаем, прививать учащимся прочные навыки

творческого мышления.

В школьных учебниках математики (и не только ныне действующих) мало

задач, с помощью которых можно показать учащимся роль наблюдения, аналогии,

индукции, эксперимента.

Мы исходим из того, что несмотря на ошибочные гипотезы, которые можно

получить в результате наблюдений и неполной индукции, учитель должен

использовать все предоставляемые ему программой и учебниками (в том числе и

ранее действующими, и пробными, экспериментальными) возможности, чтобы

развить у учащихся навыки творческого мышления. С этой целью, например,

можно предложить учащимся следующую задачу: «Может ли: а) сумма пяти

последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов

пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?» (18, №1168).

Иногда для развития навыков креативного мышления нужно несколько

изменять условия задач, встречающихся в школьных и других учебниках.

Перед решением задачи «Доказать, что если из трехзначного числа

вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в

обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11»

(18, № 949) целесообразно для математического развития учащихся предложить

им установить (с помощью индукции), каким свойством обладает

рассматриваемая разность (делиться на 9, 11, 99), и только после этого

доказать подмеченную на частных примерах закономерность в общем виде.

Задача «Докажите, что для того, чтобы найти квадрат двузначного числа,

оканчивающегося цифрой 5 и имеющего п десятков достаточно число десятков п

умножить на п + 1 и к результату приписать 25» (21, № 969) безусловно имеет

определенную познавательную ценность: учащиеся знакомятся с правилом

возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Но роль этой

задачи возрастет, если ее сформулировать так: «Найдите и обоснуйте правило

возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на цифрой 5».

Полезно предложить учащимся VII класса самим установить с помощью

наблюдений и индукции следующие формулы для подсчета сумм:

1 + 3 + 5 + … + (2п – 1) = п2,

13 + 23 + 33 + … + п3 = (1 + 2 + 3 + … + п)2.

Учащиеся, не знакомые с методом математический индукции, используемым

для доказательства этих формул, именно с помощью такого рода задач поймут

необходимость изучения этого метода в дальнейшем.

Мы исходим из того, что необходимо на уроках систематически

использовать задачи, способствующие целенаправленному развитию творческого

мышления учащихся, их математическому развитию, формированию у них

познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от

школьников наблюдательности, творчества и оригинальности.

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно

без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-

шуток, математических ребусов, софизмов.

Эвристическая задача - лучший способ мгновенно возбудить внимание и

учебный интерес, приблизить возможность открытия. Эвристические задачи

могут быть предложены как для классной, так и для домашней работы, причем

ученик должен иметь право выбора любого варианта задания. Большинство наших

эвристических задач построены на статистических данных Беларуси и других

стран, что способствует не только развитию эвристического мышления, но и

расширяет кругозор детей и стимулирует их к самостоятельной познавательной

деятельности.

Весьма интересна с точки зрения применения эвристического метода

в школе книга американского педагога У. Сойера "Прелюдия к математике"

[17]. "Для всех математиков, - пишет Сойер, - характерна дерзость ума.

Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет

дойти до всего". Эта "дерзость ума", по словам Сойера, особенно сильно

проявляется у детей.

"Если вы, например, преподаете геометрию 9-10-летним ребятам, -

говорит Сойер, - и рассказываете, что никто еще не смог разделить угол

на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непременно

увидите, что один-два мальчика останутся после уроков и будут пытаться

найти решение. То обстоятельство, что в течение 2000 лет никто не

решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать

в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно,

но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы

принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что

невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и

циркуля. Их попытка найти решение - того же рода, что попытка

представить "корень из двух" в виде рациональной дроби p/q .Хороший

ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему объясните, как

решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, он

непременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение

дополнением до полного куба. Вот это желание исследовать является

отличительной чертой математика. Это одна из сил, содействующих росту

математика. Математик получает удовольствие от знаний, которыми он уже

овладел, и всегда стремится к новым знаниям".

Другим необходимым качеством математика является интерес к

закономерностям. Закономерность - это наиболее стабильная

характеристика постоянно меняющегося мира. Сегодняшний день не может

быть похожим на вчерашний. Нельзя увидеть дважды одно и то же лицо под

одним и тем же углом зрения. Закономерности встречаются уже в самом

начале арифметики. В таблице умножения имеется немало элементарных

примеров закономерностей. Вот один из них. Обычно дети любят умножать

на 2 и на 5, потому что последние цифры ответа легко запомнить: при

умножении на 2 всегда получаются четные цифры, а при умножении на 5,

еще проще, всегда 0 или 5. Но даже в умножении на 7 есть свои

закономерности. Если мы посмотрим последние цифры произведений 7, 14,

21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, т.е. на 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0,

то увидим, что разность между последующей и предыдущей цифрами

составляет:-3; +7;-3;-3; +7; -3; -3, -3. В этом ряду чувствуется

совершенно определенный ритм.

Если прочесть конечные цифры ответов при умножении на 7 в

обратном порядке, то мы получаем конечные цифры от умножения на 3.

Даже в начальной школе можно развить навык наблюдения за

математическими закономерностями.

2.1.2. Эвристические приемы и задания на уроках математики

Формы и методы эвристического обучения направлены на развитие

эвристических качеств личности учащихся и имеют в своей основе

соответствующие типы заданий. Наиболее полно они описаны у Хуторского

А.В.[22] Ниже приведены примеры заданий и приемов, применение которых

обеспечивает развитие когнитивных, креативных, оргдеятельностных качеств

учащихся.

Задания когнитивного типа:

- Решить реальную проблему, которая существует в науке: доказать

математическую закономерность, лемму, теорему; объяснить графическую

форму цифр их взаимосвязь и последовательность.

- Исследование объекта (число, уравнение, задача); установить его

происхождение, смысл. Строение, признаки, функции, связи. Применение

разно научных подходов к исследованию одного итого же объекта.

- Проведение математического опыта, эксперимента.

- Исследование исторических фактов (создание десятеричной системы

счисления.

- Вычленение общего и отличного в разных системах, например, в разных

типах языков, к примеру, чисел, форм.

Задания креативного типа:

- Предложить ученикам по-своему выполнить то, что учителю уже известно: а)

придумать обозначение числа, понятия; б) дать определение изучаемому

объекту, явлению; в) сформулировать математическую закономерность и т.д.

- Сочинить задачу, математическую сказку.

- Составить математический кроссворд, игру, викторину, сборник своих

задач.

- Изготовить модель, математическую фигуру, геометрический сад.

- Провести урок в роли учителя. Разработать свои учебные пособия, памятки,

алгоритмы решения задач.

Задания оргдеятельностного типа:

- Разработать цели своих занятий по математике на день, на четверть, на

год; разработать план домашней, классной или творческой работы по

математике.

- Составить и провести викторину по математике, кроссворд, урок для

младших классов.

Эвристические приемы и задания на уроках математики

Формы и методы эвристического обучения направлены на развитие

эвристических качеств личности учащихся и имеют в своей основе

соответствующие типы заданий.

Ниже приведены примеры заданий и приемов, применение которых

обеспечивает развитие когнитивных, креативных, оргдеятельностных качеств

учащихся.

Задания когнитивного типа:

- Решить реальную проблему, которая существует в науке: доказать

математическую закономерность, лемму, теорему; объяснить графическую

форму цифр их взаимосвязь и последовательность.

- Исследование объекта (число, уравнение, задача); установить его

происхождение, смысл. Строение, признаки, функции, связи. Применение

разно научных подходов к исследованию одного итого же объекта.

- Проведение математического опыта, эксперимента.

- Исследование исторических фактов (создание десятеричной системы

счисления.

- Вычленение общего и отличного в разных системах, например, в разных

типах языков, к примеру, чисел, форм.

Задания креативного типа:

- Предложить ученикам по-своему выполнить то, что учителю уже известно: а)

придумать обозначение числа, понятия; б) дать определение изучаемому

объекту, явлению; в) сформулировать математическую закономерность и т.д.

- Сочинить задачу, математическую сказку.

- Составить математический кроссворд, игру, викторину, сборник своих

задач.

- Изготовить модель, математическую фигуру, геометрический сад.

- Провести урок в роли учителя. Разработать свои учебные пособия, памятки,

алгоритмы решения задач.

2.1.3. Характеристика эвристических методов

Для выбора основания классификации методов эвристического обучения

Хуторской А.В. обратился к основным видам эвристической образовательной

деятельности, классифицировав их согласно этим видам – на

оргдеятельностные, когнитивные и креативные. [22;195-210].

|Когнитивные |креативные |оргдеятельностные |

|Методы наук |Интуитивные Методы |Методы учеников |

|Методы учебных |Алгоритмические |Методы учителя |

|предметов |Методы | |

|Метапредметные Методы|Эвристики |Административные |

| | |Методы |

Когнитивные методы: метод вживания, родственный с ним метод смыслового

видения, метод образного видения и символического видения, метод

эвристических вопросов (Кто? Что? Где? Зачем? Чем? Как? Когда?), метод

сравнения близкий ему метод отличения фактов от нефактов (ищем факты, потом

«отличаем» от нефактов), метод эвристического наблюдения (его цель –

научить детей добывать и конструировать знания с помощью наблюдений), метод

эвристического исследования, метод конструирования понятий, метод

конструирования правил, метод гипотез, метод прогнозирования, метод ошибок,

метод конструирования теорий.

Рассмотрим некоторые из них.

Метод вживания: посредством чувственно – образных и мысленных

представлений ученик пытается «переселиться» в изучаемый объект,

почувствовать и познать его изнутри. Например, можно предложить ученику

представить себя равнобедренным треугольником. Такие упражнения развивают

способность мыслить и понимать явления с многообразных точек зрения, учат

включать в познание и осознание разум и мысль.

Метод эвристического исследования: выбирается объект исследования и

предлагается учащимся исследовать его по следующему плану: цели

исследования, план работы – факты об объекте – опыты – рисунки опытов –

новые факты – возникшие вопросы и проблемы – версии ответов – гипотезы –

выводы. Например, так можно исследовать геометрическую фигуру – ромб.

Креативные методы: метод придумывания, метод «Если бы…», метод

образной картины, метод гиперболизации, метод агглютинации (соединение

несоединимостей), метод синектики, «мозговой штурм», метод инверсии (метод

обращений).

Метод придумывания – это способ создания неизвестного ученикам ранее

продукта в результате их определенных умственных действий. Например, одну

сторону в параллелограмме заменить на полуось и описать свойства новой

фигуры.

Метод «мозгового штурма» - основной задачей этого метода является сбор

как можно большего числа идей по какой-либо теме в результате освобождения

участников обсуждения от инерции мышления и стереотипов.

Метод «Если бы……» - учащимся предлагается представить и описать, что

произойдет, если в мире что-то случится. Например, все объемные

геометрические фигуры превратятся в плоские и наоборот.

Оргдеятельностные методы: методы ученического целеполагания и

планирования, методы создания образовательных программ учеников, методы

нормотворчества, методы самоорганизации обучения, методы взаимообучения,

метод рецензий, методы контроля эвристической деятельности, методы

рефлексии, методы самооценки и рефлексии.

2.3. Нестандартные, эвристические задачи.

Какая задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи — это

такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений,

определяющих точную программу их решения»[9].

Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является

относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной,

в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач

такого типа или нет. Например, задача «Представьте выражение 2х2 + 2у2 в

виде суммы двух квадратов» ([5], № 1264) является для учащихся

нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со способами

решения таких задач. Но если после решения этой задачи учащимся предложить

несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для них стандартными.

Аналогично задача «При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х

+ 7у = 23?» ([5], № 1278) является нестандартной для учащихся VII класса до

тех пор, пока учитель не познакомит их со способами решения таких задач

(что, кстати сказать, можно сделать при обучении учащихся математике уже в

VI классе).

Таким образом, нестандартная задача — это задача, алгоритм решения

которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа

ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

К сожалению, иногда учителя единственным способом обучения решению

задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего

следует порой изнурительная практика по овладению ими. Нельзя не

согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д.

Пойа, что, если преподаватель математики «заполнит отведенное ему учебное

время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес,

затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности».

Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи?

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу,

к сожалению, видимо нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени

неповторимы. Однако опыт работы многих передовых учителей, добивающихся

хороших результатов в математическом развитии учащихся как у нас в стране,

так и за рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приемы

обучения учащихся способам решения нестандартных задач.

В литературе (отечественной и зарубежной) методические принципы

обучения учащихся умением решать нестандартные задачи описаны неплохо.

Наиболее удачными, на наш взгляд, в этом отношении являются книги Д. Пойа

«Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и

правдоподобные рассуждения» Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого «Как научиться

решать задачу», Ю. М. Колягина, В. А. Оганесяна «Учись решать задачи». И

хотя некоторые из них адресованы учащимся, желающим научиться решать

задачи, они, без сомнения, могут быть использовании учителями при обучении

школьников умениям решать нестандартные задачи.

Прежде всего отметим, что научить учащихся решать задачи (в том числе

и нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание

их решать, то есть если задачи будут содержательными и интересными с точки

зрения ученика. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед

учителем,— вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи.

Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их

привлекательными для учащихся. Как это сделать — решать самому учителю.

Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей их

жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами,

опытом, служащие понятной ученику цели.

Другой пример. Желая научить учащихся решать в натуральных числах

уравнения вида ах + by = с, можно, конечно, предложить учащимся выполнить

упражнение № 1278 из [20] (При каких натуральных значениях х и у верно

равенство 3х+7у=23?). Но, как показывают наши наблюдения, учащиеся легче и

с б(льшим интересом учатся способам решения таких уравнений, если им

предложить, например, следующую задачу: «Чтобы купить вещь, нужно уплатить

19 р. У покупателя только трехрублёвые купюры, у кассира только

десятирублевые. Может ли покупатель расплатиться за покупку? А если у

кассира только пятирублевые купюры?» Много таких же интересных задач на

соответствующую тематику имеется в журнале «Квант».

Мы понимаем, конечно, что нельзя приучать учащихся решать только те

задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие

задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких

задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные

при изучении любого предмета, в том числе и математики.

Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи,

должен, на наш взгляд, вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от

решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от

разгадывания кроссворда или ребуса.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком

трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении,

предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует

предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить.

Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для успешного

осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.

Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими

подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и

учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре

ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его

составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения;

4) изучение полученного решения — критический анализ результата решения и

отбор полезной информации.

Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на

рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. «Чтобы помочь учащимся

найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место

решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных

затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая

помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы,

позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт,

который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.»[10]

«Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы

путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют

своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания… Часто

оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь

родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения

решению задач, средством для нахождения плана решения являются

вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи

свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасом

различных приемов решения задач. Если этот запас не велик (что вполне

очевидно для учащихся VII классов), то учитель, видя затруднения учащегося,

должен сам предложить вспомогательные задачи. «Умело поставленные

вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных

задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы

учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с

помощью вспомогательных задач или наводящих вопросов, предложенных

учителем.»[11]

Так, когда учащиеся затрудняются решить с помощью составления

уравнения задачу «К некоторому двузначному числу слева и справа приписали

по единице. В результате получили число в 23 раза большее первоначального.

Найдите это двузначное число» ([21], № 1254), то в качестве вспомогательных

задач можно предложить следующие:

К числу х приписали справа цифру 4. Представьте полученное число в виде

суммы, если х: а) двузначное число; б) трехзначное число.

К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде

суммы, если у: а) двузначное число; б) трехзначное число.

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач нужно приучать

школьников больше внимания уделять изучению полученного решения. Для этого

можно предложить учащимся видоизменять условия задачи, чтобы закрепить

способ ее решения, придумывать задачи аналогичные решенным, более или менее

трудные, с использованием найденного при решении основной задачи способа

решения.

Например, решив задачу «В двух бочках было воды поровну. Количество

воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%.

Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем

уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?» ([21], №1245), нужно

задать учащимся вопросы: если вместо 10% взять 20%, 30%, а%? Какой вывод

можно сделать?

Систематическая работа по изучению способов решения задач помогает

учащимся не только научиться решать задачи, но и самим их составлять.

Так, после решения задачи «Докажите, что уравнение х2 – у2 = 30 не

имеет решений в целых числах» ([21], № 1272), можно предложить учащимся

попытаться сформулировать рассмотренную задачу в общем виде. Это будет

выглядеть так: «Докажите, что уравнение х2 - у2 = 4р + 2 (р — простое

число) не имеет решения в целых числах».

Конструирование задач — интересное занятие, один из верных способов

решать задачи.

Умение учащихся составлять нестандартные задачи, решаемые нестандартными

способами, свидетельствует о культуре их мышления, хорошо развитых

математических способностях.

Мы думаем, учитель должен постоянно помнить, что решение задач

является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения,

поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые

были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов,

обобщение данной задачи — все это дает возможность школьникам учиться на

задаче.

Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые

математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить

определенный опыт, сформировать умения самостоятельно, и творчески

применять полученные знания.

О нахождении способов решения задач.

Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения

задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы.

Однако наши наблюдения показывают, что на уроках, как правило,

рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда

наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде

отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи

различными способами не имеет под собой основы: для математического

развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее

одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на

это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных

способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать

наиболее рациональный, красивый.

«При отыскании различных способов решения задач у школьников

формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности,

вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода

решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное

удовлетворение. Учителю, как нам кажется, важно поощрять поиск различных

способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие

методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с

этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные

особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от

шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее

решения».[12]

«Целостная эвристическая задача требует следующих умений:

анализировать её условие; преобразовывать основные проблемы в ряд частных,

подчинённых главной; проектировать план и этапы решения; формулировать

гипотезу; синтезировать различные направления поисков; проверять решение и

т.д.»[13] Система специально разработанных эвристических задач помогает

школьнику овладеть умением самостоятельно выполнять каждый из этапов

решения.

Эвристическими можно считать те задачи, решение которых предполагает

хотя и управляемый учителем, но самостоятельный поиск еще неизвестных

школьнику закономерностей, способов действия, правил. Такие задачи

возбуждают активную мыслительную деятельность, поддерживаемую интересом, а

сделанное самими учащимися (открытие( приносит им эмоциональное

удовлетворение и гораздо прочнее закрепляется в их памяти, чем знания

преподнесенные в (готовом( виде. Эта активная самостоятельная мыслительная

деятельность приводит к формированию новых связей, свойств личности,

положительных качеств ума и тем самым — к микросдвигу в их умственном

развитии (Н. А. Менчинская, А. М. Матюшкин).

Выбор задач для эвристического обучения прежде всего зависит от

специфики их содержания. Материал описательного характера, подлежащий

усвоению, вряд ли может служит средством эвристического обучения. «Такими

могут стать задачи на применение уже известных закономерностей в

относительно новых условиях, но таких, которые предполагают более или менее

значительную перестройку знакомых способов решения, выбор из многих

возможных вариантов наиболее рационального способа действия, применение

общих теоретических положений, принципов решений в реальных практических

условиях, требующих внесения в них конструктивных изменений, и т. д.» [14]

(таких задач немало в производственной деятельности человека).

Наибольший эффект при эвристическом обучении дают задачи,

предполагающие открытие новых для учащихся причинно-следственных связей,

закономерностей, общих признаков решения целого класса задач, в основе

которых лежат еще не известные субъекту отношения между определенными

компонентами исследуемых конкретных ситуаций. Ранее уже было отмечено, что

наиболее выразительной формой эвристического метода является эвристическая

беседа, состоящая из серии взаимосвязанных вопросов, каждый из которых

служит шагом на пути решения проблемы и которые требуют от учащихся

осуществления небольшого поиска. «Учитель направляет поиск, последовательно

ставит проблемы, формулирует противоречия и т.д. [15]»

«Степень сложности задачи определяется числом существенных

взаимосвязей в ее условии, числом опосредований и преобразований,

приводящих к нахождению искомого.»[16] Зависит она и от уровня

самостоятельности при постановке и решении проблемы.

Таковы некоторые более внешние, поддающиеся объективной оценке

условия, определяющие эвристичность задач.

Наиболее эффективное средства для создания у школьников эвристических

ситуаций — использование противоречий, конфликта между усвоенными знаниями,

знакомыми способами решения определенного класса задач и теми требованиями,

которые предъявляет новая задача; школьники должны убедиться в том, что

решение задач на основе уже имеющихся знаний приводит к ошибкам. Учитель

сознательно заостряет конфликт, подчеркивает возникающее противоречие,

стимулирует попытки найти выход из создавшегося положения, разрешить

противоречие.

2.3.1. Примеры эвристических уроков

Рассмотрим некоторые виды уроков, которые можно провести в качестве

эвристических.

Творческие лаборатории

Структура уроков при эвристическом обучении предполагает

организацию творческой, поисковой математической деятельности учащихся с

различным уровнем учебных и математических способностей. Дифференцированный

подход помогает в условиях классно-урочной системы обучения реализовать

творческие возможности всех учащихся.

Например, при изучении в 7 классе темы «Выражения» можно предложить

учащимся дифференцированные творческие задания на уроке:

1. составить задачу для самостоятельной работы на следующем урокке;

2. выполнить упражнение [22; №58]с графическим комментированием;

3. написать творческую работу, используя слова по данной теме.

Задание на дом тоже выбирается школьниками. Таким образом, начиная с

7 класса, учащиеся будут вовлекаться в доступную им творческую деятельность

по математике: подбирать и создавать задачи; подбирать задачи-иллюстрации

для демонстрации рассматриваемых единиц; искать нестандартные задачи,

парадоксы, шутки, кроссворды; будет очень познавательно сделать иллюстрации

к урокам алгебры по типу «Алгебра в рисунках» или выпустить математический

листок «Знаете ли вы?».

| | | |

Работа по развитию мматематической речи учащихся на основе

иллюстративного материала.

Речевые ситуации, созданные с помощью слова учителя и средств

наглядности, являются ситуациями воображаемыми, поэтому при создании таких

ситуаций от преподавателя и ученика требуется немалая доля творчества. Надо

поставить школьника в такие условия, чтобы он говорил не потому, что

обязан, а прежде всего потому, что ему интересно выразить свое отношение. В

учебниках по математике [18-21,27] мало творческих заданий по рисункам.

Творческие задания на основе изобразительной наглядности не только

обеспечивают мотивацию высказывания, но и развивают у детей творческое

воображение, наблюдательность, содействуют формированию математических

коммуникативных умений.

Например, можно предоставить каждому ребенку следующий рисунок

(домик из знакомых геометрических фигур) и попросить рассказать его о том,

какие фигуры он заметил и какие они имеют свойтсва:

В ряде случаев будут уместны корректирование и редактирование задач,

примеров, которые содержат опечатки или же их решения с ошибками. Подобные

упражнения обеспечивают концентрацию внимания, а также самопроверку – при

непременном контроле со стороны учителя. Внимание активизируется творческим

заданием, предполагающим обоюдную готовность учителя и ученика к

нестандартным творческим решениям.

Этимологические экскурсы (Толкование математических терминов)

неизменно будет привлекать и концентрировать внимание ребят всех возрастных

групп как вероятный фактор ассоциаций.

Например, на уроках можно познакомить ребят со сведениями из истории

математических слов или наоборот - дать домашнее задание объяснить какие-то

математические термины.

Составление опорных сигналов чтобы закрепить математическую

закономерность и окончательно освоить её, не боясь ошибки в дальнейшем,

учащийся должен «увидеть» правило в системе небольшого количества ярких и

запоминающихся знаков, схем [28]. Этому и служит прием составления схем. Не

стоит давать их в готовом виде, т.к. их использование малопродуктивно.

Ребята должны составлять их сами. Индивидуальные опорные схемы должны

соответствовать следующим требованиям:

1) информационная насыщенность; 2) яркость и контрастность; 3) минимум

текста и графических обозначений; 4) закрепление примерами; 5)

возможность текстовой интерпретации.

Индивидуальная работа над ошибками. Ряд учащихся делает ошибки в

определенных местах, в определенных задачах, причем нередко это объясняют

невнимательностью, что не всегда справедливо. Обнаруженные у некоторых

вполне внимательных учеников традиционные ошибки требуют индивидуальной

работы.

Когда ошибка сделана, учитель требует её прокомментировать. Но

отклик будет чисто формальным, если он основан на навязываемой позиции:

«Почему не так?» Важно, чтобы была избрана аргументированная позиция: «В

силу чего ошибка сделана? »- или творческая: «Ошибка ли это?» Диалог при

этом должен вестись как поблемно-поисковый, позволяющий избегнуть долгого

поиска нужного правила.

Стандартная работа над ошибками создает психологический дискомфорт,

поскольку не учитывает сомнения и вопросы, нередко возникающие у ребят.

Необходим отклик, которого в этом случае учитель не слышит, да и не

предполагает. Творческая работа над ошибками, наоборот, делает возможным

отклик: она действительно актуальна для ученика.

Таким образом, можно сделать вывод, что творческие способности

развиваются не тогда, когда мы говорим детям о необходимости их развития, а

тогда, когда мы сумеем развивать их сами и показывать это ребятам в

общении; что следует поощрять сомнения, возникающие по отношению к

общепринятым предположениям. Творческим личностям свойственно сомневаться в

решениях, принимаемых другими людьми. Конечно, учащиеся не должны

подвергать сомнению любое исходное положение, но каждый должен уметь

находить объект, достойный сомнения. Так же нужно разрешать делать ошибки -

«Не ошибается только тот, кто ничего не делает».[17] Надо поощрять разумный

поиск, творческие идеи и результаты творческой деятельности. Креативность

не изнашивается с возрастом, а подавляется учениками, учителями. Позволяя

ученикам рисковать, и даже поощряя их в этом, мы поможем раскрыть их

творческий потенциал. Например, если ученик пошел на разумный риск, работая

над контрольной работой (задачей), ища свое «новое» решение, надо поощрять

его, даже если результат работы не очень удовлетворителен. Необходимо

включать в программу обучения разделы, которые позволили бы учащимся

демонстрировать их творческие способности, проводить проверку усвоения

материала таким образом, чтобы у учащихся была возможность применить и

продемонстрировать их творческий потенциал. Следует подготовить к

препятствиям, встречающимся на пути творческой личности. Творчество – это

не только умение мыслить творчески, но и умение не сдаваться, встречая

сопротивление, отстаивать свое мнение, добиваясь признания.

Заключение

Таким образом, одним из основных методов, который позволяет учащимся

проявить творческую активность в процессе обучения математике, является

эвристический метод.

Известно, что в процессе изучения математики школьники часто

сталкиваются с различными трудностями. Однако в обучении, построенном

эвристически, эти трудности часто становятся своеобразным стимулом для

изучения. Так, например, если у школьников обнаруживается недостаточный

запас знаний для решения какой-либо задачи или доказательства теоремы, то

они сами стремятся восполнить этот пробел, самостоятельно "открывая" то или

иное свойство и тем самым сразу обнаруживая полезность его изучения. В этом

случае роль учителя сводится к тому, чтобы организовать и направить работу

ученика, чтобы трудности, которые ученик преодолевает, были ему по силам.

Нередко эвристический метод выступает в практике обучения в форме так

называемой эвристической беседы. Опыт многих учителей, широко применяющих

эвристический метод, показал, что он влияет на отношение учащихся к учебной

деятельности. Приобретя "вкус" к эвристике, учащиеся начинают расценивать

работу по "готовым указаниям", как работу неинтересную и скучную. Наиболее

значимыми моментами их учебной деятельности на уроке и в домашних условиях

становятся самостоятельные "открытия" того или иного способа решения

задачи. Явно возрастает интерес учащихся к тем видам работ, в которых

находят применение эвристические методы и приемы. [8]

Ценность эвристических уроков по математике заключается в том, что

учащиеся самостоятельно добывают новые знания, учаться их применять

исходя из уже имеющегося опыта, учитель лишь подводит их правильному

решению. Эвристическое обучение на уроке математики способствует

формированию своей точки зрения, своей позиции, своего математического и

не только миропонимания.

Важно помнить, что как бы ни хорош был метод эвристической беседы,

его нельзя гипертрофировать и считать универсальным методом. Выделив

познавательную задачу урока, учитель должен решить, целесообразно ли

давать ее методом эвристической беседы. К сожалению, на частое применение

эвристического метода в процессе обучения поставленных учебных проблем

требуется гораздо больше учебного времени, чем на изучение этого же

вопроса методом сообщения учителем готового решения (доказательства,

результата). Поэтому учитель не может использовать эвристический метод

преподавания на каждом уроке. К тому же длительное использование только

одного (даже весьма эффективного метода) противопоказано в обучении.

Однако следует отметить, что "время, затраченное на фундаментальные

вопросы, проработанные с личным участием учащихся,- не потерянное время:

новые знания приобретаются почти без затраты усилий благодаря ранее

полученному глубокому мыслительному опыту". [18]

У эвристического метода обучения есть еще один недостаток - в большой

степени применение этого метода зависит от уровня обученности и развития

учащихся, особенно от сформированности их познавательных умений, а опыта и

образованности учителя.

Необходимо и далее разрабатывать и усовершенствовать приемы и методы

эвристического обучения на уроках математики.

Анализируя проделанную работу можно сделать ряд выводов:

1. Нам удалось достичь основной цели данного исследования — составить

ряд эвристических методических приемов и задач, включенных в обычные

программные уроки.

2. Анализ учебного материала, предшествующий практической части работы,

позволил структурировать отобранный материал наиболее логичным и

приемлемым способом, в соответствии с целями исследования.

3. Результатом проведенной работы являются несколько методических

рекомендаций к курсу математики:

1) В целях совершенствования преподавания математики целесообразна

дальнейшая разработка новых методик использования нестандартных

задач.

2) Систематически использовать на уроках эвристические задачи,

способствующие формированию у учащихся познавательного интереса и

самостоятельности.

3) Целесообразно использование на уроках задач на сообразительность,

задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

4) Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию

познавательных процессов у каждого из них, используя эвристические

задания различного типа.

Таким образом, работа над путями и условиями реализации творческого

обучения дело важное и необходимое. Поиск новых путей активизации

творческой деятельности школьников является одной из неотложных задач

современной психологии и педагогики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Н.Чанышев. «Курс лекций по древней философии», М.: «Высшая школа»,

1981.

2. Д.Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения», М.: «Наука».,1975.

3. Ушинский К.Д. Собр. Соч.

4. «К технологиям интенсификации творчества в процессах профессионального

образования», Обр. и наука, 2002. - № 3. - С.10-29. (статья)

5. И.П. Волков, «Педагогический поиск», М.: Педагогика, 1987

6. Коменский Я.А., «Великая дидактика», М.: Педагогика, 1989

7. Андреев В.И., «Диалектика воспитангия и самовоспитания творческой

личности. Основы педагогики творчества», Казань, 1988

8. Кулюткин Ю.К., «Эвристические методы в структуре решений», М.:

Педагогика, 1970

9. Ильина Т.А., «Педагогика», М.: Просвещение, 1984

10. Лезан Ф., "Развитие математической инициативы", М.: Наука, 1989

11. Выготский Л.С., «Педагогическая психология», М.: Педагогика-Пресс,

1996

12. Окунев А.А., «Как учит не уча», Спб.: Питер-пресс, 1996

13. Лернер И.Я., «Прооблемное обучение», М.: Знание, 1974

14. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.,

1968.

15. Пономарев Я. А. , «Психология творческого мышления», М.: Наука, 1960.

16. Рубинштейн С. Л., «О мышлении и путях его исследования», М.:

Просвещение, 1958.

17. Сойер У. У., "Прелюдия к математике", М.: 1972, Просвещение.

18. Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю.

М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988.

19. Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю.

М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988.

20. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г.

Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987.

21. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г.

Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987.

22. Хуторской А.В., «Эвристическое обучения», М.: 1998

23. Воробьёв Г.Г. «Школа будущего начинается сегодня», М., 1991

24. Жук О.Л. «Педагогика», Минск, Бгу, 2003

25. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи», М.,

Просвящение, 1989.

26. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи, М., 1985

27. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г.

Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1989

28. Шаталов В.Ф.

-----------------------

[1] И.Я.Лернера, В.А.Сухомлинского, А.Н.Окунева.

[2] Бахтин М.М. «Избранное», М.: Просвещение. 1986

[3] Якиманская И. С. «Развивающее обучение», М., 1979

[4] Сериков В. В. «Личностно-ориентированное образование», М., Педагогика,

1994

[5] Семенов Е.М., Горбунова Е.Д. «Развитие мышления на уроках математики»,

Свердловск, 1966

[6] Дистервег А. , Избранные пед. сочинения» , М., 1956

[7] Российская педагогическая энциклопедия, 2т. - М., 1999, с.420.

[8] Матюшкин А.М. «Проблемные ситуации в мышлении и обучении», Москва, 1972

[9] Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи.— М.:

Просвещение, 1989.— С. 48

[10] И.П. Волков, «Педагогический поиск», М.: Педагогика, 1987

[11] там же

[12] Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи», М.,

Посвящение, 1989

[13] Хуторской А.В. «Эвристическое обучение», Москва, 2000

[14] Т. В. Кудрявцев «Решение задач», Москва, 1985

[15] Хуторской А.В. «Эвристическое обучение», Москва, 1998

[16] Матюшкин А.М. «Проблемные ситуации в мышлении и обучении», Москва,

1972

[17] Шаталов В.Ф., «Точка опоры», М., Н.и Обр., 1987

29. [18] Окунев А.А., «Как учит не уча», Спб.: Питер-пресс, 1996

-----------------------

Методы ЭэЭолтдолтрот. ЭОЭО

Страницы: 1, 2