На швейной фабрике «Шанель» для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в таблице. Там же указаны имеющееся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Артикул ткани	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида	Общее коли- чество ткани
	1	2	3	4
I	а11	а12	а13	а14	b1
II	а21	а22	а23	а24	b2
III	а31	а32	а33	а34	b3
Цена одного изделия (руб.)	с1	с2	с3	с4

№ вар.	а11	а12	а13	а14	а21	а22	а23	а24	а31	а32	а33	а34	b1	b2	b3	с1	с2	с3	с4
1	1	0	2	1	0	1	3	2	4	2	0	4	180	210	800	9	6	4	7

Решение
1. Выберем элементы решения.

За элементы решения примем xi- количество i-го товара (элементов решений 4) i =

2. Составление системы ограничений

bj ,j = имеем 3 ограничения

3. Запишем целевую функцию.

L= max

4. Опираясь на условие задания и на перечисленные выше пункты, запишем математическую модель задачи.

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max

Приведем нашу математическую модель к виду ОЗЛП с помощью добавочных неотрицательных переменных, число которых равно числу неравенств. Так как имеем неравенство вида меньше/ равно, тодобавочные переменные вводим в левую часть со знаком “+”. Получаем следующее:

ОЗЛП

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max

Теперь определимся с существованием решения найденной ОЗЛП. Подсчитаем число уравнений(m) и число переменных(n), найдем их разность(k) и сделаем вывод. Итак, m=3, n=7, k=n-m=4. Так как число линейно независимых уравнений(m) меньше числа переменных(n),то система совместна и у нее существует бесчисленное множество решений. При этом (n-m) переменным мы можем придавать произвольные значения (свободные) и остальные m переменных (базисные) будем выражать через свободные.

Свободные: x1, x2, x3, x4

Базисные: x5, x6, x7

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max

опорное решение

Так как в L коэффициент при x1 больше 0 и больше всех остальных коэффициентов при переменных, то переменную x1 будем увеличивать. Определим границу увеличения x1 следующим образом: возьмем два уравнения из системы ограничений;

x5 = -x1-2x3-x4+180

x7=-4x1-2x2-4x4+800

Определим значения x1, при которых каждая из переменных x5 , x7 обратится в 0.

x5 =0

x7=0

Увеличивать x1 можно до наименьшего из найденных значений необходимо поменять местами переменные x1 и x5.

Новое решение будет следующим:

Свободные: x2, x3, x4, x5 =0

Базисные: x1, x6, x7

L=9*(180-2*x3-x4-x5)+6*x2+4*x3+7*x4=1620-18*x3-9*x4-9*x5+6*x2+4*x3+7*x4 =1620+6*x2-14*x3-2*x4-9*x5max

L = 1620+6*x2-14*x3-2*x4-9*x5max

Так как в L коэффициент при x2 больше 0, то переменную x2 будем увеличивать. Определим границу увеличения x2 по уже описанной выше схеме.

x6 = 210-x2-3x3-2x4

x7 = 80-2x2+8x3+4x5

x6 =0

x7=0

необходимо поменять местами переменные x2 и x7.

Новое решение будет следующим:

Свободные: x7, x3, x4, x5 =0

Базисные: x1, x6, x2

L = 1620+6*(40-0,5*x7+4*x3+2*x5)-14*x3-2*x4-9*x5= 1620+240-3*x7+24* x3+12*x5-14*x3-2*x4-9*x5= 1860+10* x3-2*x4+3* x5-3*x7

L = 1860+10* x3-2*x4+3* x5-3*x7

Так как в L коэффициент при x3 больше 0, то переменную x3 будем увеличивать. Определим границу увеличения x3 по уже описанной выше схеме.

x6=170-2x4-7x3-2x5+0.5x7

x2=40-0.5x7+4x3+2x5

x6 =0

x2=0

необходимо поменять местами переменные x3 и x2.

Новое решение будет следующим:

Свободные: x7, x2, x4, x5 =0

Базисные: x1, x6, x3

Видно, что получается отрицательная базисная переменная х3, поэтому очевидно, что x3 увеличивать нельзя. Поработаем с х5.

x1=180-2x3-x4-x5

x6=170-7x3-2x4-2x5+0.5x7

x2=40+4x3+2x5-0.5x7

x1 =0

x6=0

x2=0

Видим, что необходимо поменять местами х2 и х5

Новое решение будет следующим:

Свободные: x7, x3, x4, x2 =0

Базисные: x1, x6, x5

x6=170-7x3-2x4-2x5+0.5x7 x5= -40+x2-4x3+0.5x7

Видно, что получается отрицательная базисная переменная х5, поэтому очевидно, что x5 и х2 менять нельзя. Поменяем х5 с х6.

L=1860+10x3-2x4+3(85-3.5x3-x4-0.5x6+0.25x7)-3x7=2115-0.5x3-5x4-1.5x6-2.25x7

5. Симплекс-таблицы.

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 L = 0 - (-9*x1-6*x2-4*x3-7*x4)

	b
L

	b
L	1620	9	-6	14	2
	180	1	0	2	1
	210	0	1	3	2
	80	-4	2	-8	0

L = 0- (-1620+9x5-6x2+14x3+2x4)

	b
L

	b
L	1860	-3	3	-10	2
	180	1	0	2	1
	170	2		7	2
	40	-2		-4	0

	b
L

	b
L	2115	1.5	2.25	0.5	5
	95	-0.5	0.25	-1.5	0
	85	0.5	-0.25	3.5	1
	210	1	1	3	2

Ответ
Если фабрика произведет 95 штук первого изделия, 210 штук второго изделия, то стоимость произведенной продукции будет максимальной и будет равна 2115 единиц.

ЗАДАНИЕ N2

Условие
Решить симплекс-методом задачу линейного программирования. С помощью симплекс-таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax B,

где = 1 2 . . . 6 , В = b1 b2 . . . b6 ,

= 1 2 . . . 6 , А= (=1,6; =1,3).

L = 5*x1+x2-x3+x4 +2x5 max

Решение

Приведем данное нам условие к стандартной форме записи и получим следующее
L = 0 -(-5*x1-x2+x3-x4 -2x5 ) max

Видим, что x1,x2-свободные переменные и x3,x4,x5 - базисные; n= 5, m=3, k= 2.

Заполним стандартную таблицу

	b
L


		=2

Поясним действия, проделанные выше за пределами таблицы. Выбрав в качестве разрешающего столбца x2. Далее в этом столбце нужно выбрать разрешающий элемент. Для этого рассмотрим все элементы данного столбца, имеющие одинаковый знак со своим свободным членом. Из них в качестве разрешающего выберем тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально. Отсюда понятно, почему в качестве разрешающей строки мы выбрали x4.

	b
L

	b
L

	b
L

	b
L	8	4.5	1
	2	0.5	1
	2/3	1/6	-1/3
	4/3	5/6	1/3

Полученное решение удовлетворяет системе ограничений!

Ответ
L* = 8

x*4,x*5=0 - свободные

- базисные

ЗАДАНИЕ N3

Условие
Решение транспортной задачи, все данные приведены ниже в таблице.

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	0.09	0.12	0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08	0.1	0.15	0.05	0.07	6000
A3	0.1	0.15	0.15	0.08	0.06	8000
bj	1000	8000	3000	3000	4000

Решение

Перед тем как приступить к решению, подсчитаем общее количество запасов и общее количество заявок . Понятно что имеем транспортную задачу с избытком заявок . Потребуем, чтобы все пункты назначения были удовлетворены в равной доле. При таком подходе задача сводится к задаче с правильным балансом: необходимо исправить поданные заявки, умножив каждую на коэффициент

k = ai bj . Рассчитаем k.

Тогда получим транспортную задачу с правильным балансом.

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	0.09	0.12	0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08	0.1	0.15	0.05	0.07	6000
A3	0.1	0.15	0.15	0.08	0.06	8000
bj						17000

Найдем опорное решение с помощью метода северо-западного угла.

r = 3+5-1 =7

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1			0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08			0.05	0.07	6000
A3	0.1	0.15				8000
bj						17000

Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток.

Проверка по столбцам:

Проверка по строкам:

Количество заполненных клеток равно r =7. Найденный план является опорным.

Постараемся улучшить план перевозок

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1			0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08			0.05	0.07	6000
A3	0.1	0.15				8000
bj						17000

Подсчитаем цены выделенных пунктирными прямоугольниками циклов.

Цикл1

(1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1)

, где цена цикла

Цикл2

(2;3)-(2;4)-(3;4)-(3;3)

Для того чтобы стоимость плана уменьшилась, имеет смысл совершать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Цена Цикла2 отрицательна, поэтому выбираем его. Цикл1 в данном случае рассматривать не будем: так как цена его положительна, поэтому план перевозок с помощью перерасчета этого цикла не улучшится.

После всех рассуждений получим следующее:

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1			0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08			0.05	0.07	6000
A3	0.1	0.15				8000
bj						17000

Итак, улучшаем план перевозок с помощью Цикла1. Для этого перенесем по циклу мнимальное количество груза, стоящее в отрицательной вершине.

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1			0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08				0.07	6000
A3	0.1	0.15				8000
bj						17000

Подсчитаем L для таблицы с изменениями.

L =

Допустим, что найдено оптимальное решение. Проверим его с помощью метода потенциалов.

Примем a1 = 0, тогда bj = cij - ai (для заполненных клеток). Если найденное решение справедливо, то во всех пустых клетках таблицы Дij = cij - (ai + bj )?0. Ясно, что Дij = 0 для заполненных клеток. Получим следующее.

	b1=0.09	b2=0.12	b3=0.14	b4=0.07	b5=0.05	ai
a1=0						3000
a2=-0.02						6000
a3=0.01						8000
bj						17000

Из таблицы видно, что найденное оптимальное решение верно, так как Дij ?0.

Ответ

B1
B2
B3
B4
B5
ai
A1
0.14
0.1
0.09
3000
A2
0.08
0.07
6000
A3
0.1
0.15
8000
bj
17000
ЗАДАНИЕ N4
Условие

№
b1
b2
c11
c12
c22
extr
a11
a12
a21
a22
p1
p2
Знаки огр.
1 2
2
7
-1
-2
-3
max
2
-4
3
2
10
20
Решение задачи нелинейного программирования
Определить экстремум целевой функции вида
= 1112+2222+1212+11+22
при условиях
111+122<=>1
211+222<=>2 .
Решение
ѓ(x1,x2)=
1. Нужно определить относительный максимум функции для этого нужно определить стационарную точку .
стационарная точка (-0,25;1.25)
2. Исследовать найденную стационарную точку на максимум для чего определить вогнутость функции f.
-2<0
Условия выполняются, следовательно, целевая функция является строго вогнутой в окрестности стационарной точки.
3. Составление функции Лагранжа.
A Б
Перепишем систему А.
А1
4. Вводим дополнительные переменные v1,v2,w1,w2 ,превращающие неравенства системы А1 в равенства.
A2
перепишем систему Б
Б2 - условия дополняющей нежесткости
5. Решить систему А2 с помощью метода искусственных переменных.
в 1 и 2-ое уравнение системы А2.
Вводим псевдоцелевую функцию

базисные переменные: y1,y2,w1,w2
свободные переменные:x1,x2,v1,v2,u1,u2

80M
M
4M
0
M
4M
0
10
0
1.5
0
0
0.5
0
13.5
0
-1.5
-2
0.5
0.5
-0.5
50
0
8
0
0
2
0
58.5
-1
5.5
4
1.5
-0.5
1.5
Оптимальное решение:
y1=x1=u1=y2=w1=v2=0
x2=10
w1=50 оптимальное решение
u2=13.5
v1=58.5
6. проверим условие дополняющей нежесткости
xi*vi=0
ui*wi=0 условия выполняются
x1=0
x2=10- решение исходной задачи квадратичного программирования
Ответ
x1=0
x2=10
Литература
Курс лекций Плотникова Н.В.