Такая математическая модель соответствует абстрактному импульсу бесконечно малой длительности и безграничной величины. Единственным параметром, правильно отражающим реальный сигнал, является время его действия. Однако, учитывая (1.10), с помощью дельта-функции можно выразить значение реального сигнала u(t) в конкретный момент времени ой:

Равенство (1.11) справедливо для любого текущего момента времени t. Заменив ой на t и приняв в качестве переменной интегрирования о, получим

Таким образом, функция u(t) выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.

Разложение (1.12) имеет большое значение в теории линейных систем, поскольку, установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции (импульсную переходную функцию), можно легко определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельта-импульсов с "площадями", равными соответствующим значениям входного сигнала.

С помощью дельта-функций можно также представить периодическую последовательность идеализированных импульсов с постоянными или меняющимися уровнями. Обозначив через u(t) функцию, равную u(kt) в точках t = kt и нулю в остальных точках, запишем:

где Дt - период следования импульсов.

Поскольку умножение u(t) на дельта - функцию в момент времени t = kt соответствует получению отсчета этой функции, uп(kt) может представлять результат равномерной дискретизации функции u(t).

§ 1.4 Частотная форма представления сигнала
Рассмотрим, какие функции целесообразно выбирать в качестве базисных при анализе инвариантных во времени линейных систем. При исследовании таких систем решения всегда содержат комплексные экспоненциальные функции времени. Детерминированные сигналы, описываемые экспоненциальными функциями времени, при прохождении через инвариантные во времени линейные системы не изменяются по своему характеру, что является следствием инвариантности класса экспоненциальных функций относительно операций дифференцирования и интегрирования.

Широко используются представления детерминированных сигналов с применением базисных функций еpt как при с = (преобразование Фурье), так и при p = s+j (обобщенное преобразование Фурье, известное как преобразование Лапласа).

До сих пор мы не касались физической интерпретации базисных функций. Для чисто математических преобразований она не обязательна. Однако такая интерпретация имеет безусловные преимущества, так как позволяет глубже вникнуть в физический смысл явлений, протекающих в системах при прохождении сигналов.

Использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье комплексно-сопряженными парами (с положительным и отрицательным параметром щ) позволяет в соответствии с формулой Эйлера:

представить сложный детерминированный сигнал в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку параметр щ в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.

В силу указанных преимуществ разложение сигналов по системе гармонических базисных функций подверглось всестороннему исследованию, на основе которого была создана широко известная классическая спектральная теория сигналов.

В дальнейшем, если это не оговорено специально, спектральное представление сигналов рассматривается в рамках классической теории.

Спектры периодических сигналов. Периодических сигналов, естественно, не существует, так как любой реальный сигнал имеет начало и конец. Однако при анализе сигналов в установившемся режиме можно исходить из предположения, что они существуют бесконечно долго и принять в качестве математической модели таких сигналов периодическую функцию времени. Далее рассматривается представление таких функций, как в виде суммы экспоненциальных составляющих, так и с преобразованием их в гармонические.

Пусть функция u(t), заданная в интервале времени и удовлетворяющая условиям Дирихле, повторяется с периодом T = 2 / = t2-t1 на протяжении времени от - до +.

Условия Дирихле: на любом конечном интервале функция должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого рода, а также конечное число экстремальных точек. В точках разрыва функцию u(t) следует считать равной.

Если в качестве базисных выбраны экспоненциальные функции, то выражение (1.5) запишем в виде

Соотношение (1.15) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным параметром щ (двустороннее частотное представление). Составляющие с отрицательными частотами являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функцию A(jk1) принято называть комплексным спектром периодического сигнала u(t). Этот спектр дискретный, так как функция A(jk1) определена на числовой оси только для целых значений k. Значение функции A(jk1) при конкретном k называют комплексной амплитудой.

Огибающая комплексного спектра A(j) имеет вид

Запишем комплексный спектр в форме

Модуль комплексного спектра A(k1) называют спектром амплитуд, а функцию ц(k1) - спектром фаз.

Если известны спектр амплитуд и спектр фаз сигнала, то в соответствии с (1.15) он восстанавливается однозначно. В практических приложениях более значимым является спектр амплитуд, а информация о фазах составляющих часто несущественна.

Поскольку A(k1) и ц(k1) отличны от нуля только при целых k, спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными.

Воспользовавшись формулой Эйлера е - jkt = coskt - j sinkt, выразим комплексный спектр A(jk1) в виде действительной и мнимой частей:

где

Спектр амплитуд

является четной функцией k, т.е.

Поскольку четность Ak и Вk, противоположна, спектр фаз

функция нечетная, т.е.

При k = 0 получаем постоянную составляющую

От двустороннего спектрального представления легко перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие [см. (1.14)]. В этом случае получаем ряд Фурье в тригонометрической форме. Действительно, выделив в (1.15) постоянную составляющую A0/2 и суммируя составляющие симметричных частот щ и - щ, имеем

Учитывая соотношения (1.15) и (1.16), запишем

Воспользовавшись формулой Эйлера (1.14) и обозначив ц(k1) через цk, окончательно получим

Распространена и другая тригонометрическая форма ряда Фурье, имеющая вид

Однако она менее удобна для практического применения. Отдельные составляющие в представлениях (1.23) и (1.24) называют гармониками. Как спектр амплитуд, так и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно спектральными диаграммами. На диаграмме спектра амплитуд каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна амплитуде, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте этой составляющей. Аналогично на диаграмме спектра фаз обозначают значения фаз гармоник. Поскольку в результате спектры отображаются совокупностями линий, их часто называют линейчатыми.

Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр не обязательно должен принадлежать периодическому сигналу. Спектр периодического сигнала характеризует совокупность гармоник, кратных основной частоте щй. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, принадлежат так называемым почти периодическим сигналам. Диаграмма спектра амплитуд периодического сигнала показана на рис.1.4 Огибающую A(t) этого спектра амплитуд можно получить, заменив k1 в A(k1) на щ, где щ = kщ1 для k-й гармоники.

Пример 1.1 Определить спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью ф и амплитудой u0, следующих с частотой щ1 = 2р / Ф (рис.1.5).

Функция u(t), описывающая такую последовательность импульсов на периоде, может быть задана в виде:

В соответствии с (1.16) имеем

или

Амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, равную А0/2, определим из выражения

при k = О, 1, 2,...

Выбор начала отсчета времени на их величину не влияет. Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

При щ = 0 получаем

Характер изменения амплитуд диктуется функцией sin х / х и не зависит от частоты следования импульсов. На частотах, кратных 2р / ф, огибающая спектра равна нулю.

На рис.1.6 приведена диаграмма спектра амплитуд для случая

Ф / ф = 3 [щ1 = 2р / (3ф)]. Число составляющих в спектре бесконечно велико. Крутизна фронтов импульсов обусловлена наличием в спектре составляющих с частотами, существенно превышающими основную частоту щ1.

Опираясь на формулу (1.29) и принимая во внимание, что знаки функции sin(k1 / 2) на последовательности интервалов частот Дщ = 2р / ф чередуются, выражение для спектра фаз запишем следующим образом:

где n - номер интервала частот щ = 2р / ф, отсчитываемого от щ = 0.

Спектр фаз зависит от выбора начала отсчета. Если передний фронт прямоугольного импульса последовательности приходится на начало отсчета времени, то на каждом интервале Дщ = 2р / ф фазы составляющих возрастают линейно. Диаграмма спектра фаз последовательности прямоугольных импульсов для этого случая (Ф / ф = 3, t1 = 0) показана на рис.1.7

Пример 1.2 Вычислить несколько первых членов ряда Фурье для периодической последовательности прямоугольных импульсов и проследить, как их гумма сходится к указанному сигналу.

Воспользуемся результатами предыдущего примера для случая широко используемой на практике периодической последовательности импульсов, у которых длительность ф равна половине периода Т. Примем также t1 = 0.

По формуле (1.32) определим постоянную составляющую, а по формулам (1.30) и (1.33) - амплитуды и фазы пяти первых гармоник. Данные расчетов сведены в табл.1.1 Четные гармоники в табл.1.1 не указаны, так как они равны нулю.

Таблица 1.1

Суммируя указанные составляющие, получим последовательность импульсов (рис.1.8), отличающихся от прямоугольных в основном недостаточно высокой крутизной фронтов.

Отметим, что крутизна фронтов импульсов обусловлена наличием в их спектре составляющих с частотами, многократно превышающими основную частоту.

Распределение энергии в спектре. Рассмотрим, как распределяется энергия сложного периодического сигнала u(t) по его спектральным составляющим. Под временной функцией u(t) будем подразумевать электрическое напряжение на резисторе в 1 Ом. Энергия WT, выделяемая на этом резисторе за время, равное периоду колебаний Т,

Используя спектральное представление u(t) в виде ряда Фурье (1.15), получим

Определим значения интегралов в выражении (1.35):

Так как A(jk1) и А(-jk1) комплексно сопряжены, то

С учетом (1.28) и (1.29) выражение для WT существенно упрощается:

Из (1.38) следует, что средняя за период энергия сложного периодического сигнала равна сумме средних энергий, выделяемых на резисторе в 1 Ом каждой его гармоникой в отдельности (включая постоянную составляющую).

С течением времени выделяемая энергия безгранично растет, при этом средняя мощность остается постоянной:

Важно отметить, что она не зависит от фаз отдельных гармоник и, следовательно, будет сохранять свое значение при изменениях формы сигнала, обусловленных нарушениями фазовых соотношений гармоник спектра.

Пример 1.3 Определим, какая часть средней мощности, выделяемой на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, периодической последовательностью прямоугольных импульсов с параметрами из примера 1.2 приходится на пять первых гармоник и постоянную составляющую.

Значения амплитуд составляющих определены ранее (см. табл.11). Подставляя их в (1.39), для средней мощности Р5 сигнала, включающего указанные составляющие, получим

Так как средняя мощность последовательности прямоугольных импульсов при ф= Т / 2 равна 0,5 , то искомая часть составляет 96% от этой мощности.

Область частот, в которой сосредоточена подавляющая часть мощности периодического сигнала, называют практической шириной его спектра. Если не предъявляется жестких требований относительно крутизны фронтов импульсов (см. пример 1 2), расширение этой области нецелесообразно.

Спектры непериодических сигналов. Любой физически реализуемый сигнал ограничен во времени и обладает конечной энергией. Функции, отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и абсолютно интегрируемы, т.е.

где M - конечная величина.

Модели таких сигналов также могут быть представлены совокупностью гармонических составляющих в соответствии с выражением (1.2). Конкретный вид спектрального преобразования для непериодического сигнала получим, проследив изменения, происходящие в спектре периодической последовательности импульсов u1(t) при увеличении периода их повторения.

В соответствии с формулой (1.30), которая справедлива для любого значения периода Т, абсолютные значения амплитуд спектральных составляющих в (1.27) при увеличении периода уменьшаются. Так как частоты составляющих спектра кратны основной частоте, то при ее уменьшении линии на спектральной диаграмме сближаются.

Спектральное представление для одиночного импульса u(t) получим как следствие увеличения периода сигнала u1(t) до бесконечности.

Пару преобразований Фурье для периодической функции u1(t) запишем в форме (1.15) и (1.16):

При T u1(t) переходит в u(t), частота щ1 уменьшается до d, а k1 превращается в текущую частоту щ. Заменяя суммирование интегрированием, находим

Обозначив интеграл в квадратных скобках S(jщ), получим формулы для прямого и обратного интегрального преобразования Фурье:

Величину S(jщ) называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда / частота]. На каждой конкретной частоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Сравнивая (1.15) и (1.42), находим, что бесконечно малому интервалу частоты dщ соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой dA(j):

Сравнение выражения (1.41) для спектральной характеристики функции u(t), заданной на интервале времени , с формулой (1.17) для огибающей комплексного спектра такой же функции, периодически продолжающейся во времени, показывает, что они различаются только множителем:

Поэтому по известной спектральной характеристике одиночного импульса легко построить линейчатый спектр их периодической последовательности. Соотношением (1.44) объясняется и тот факт, что для различных представлений спектральной характеристики имеют место формулы, весьма похожие на (1.18) - (1.24).

Как комплексная величина спектральная характеристика может быть записана в виде

где S(щ) = |S(jщ) | называется спектральной плотностью амплитуд или спектром непериодического сигнала.

Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. Представим спектральную характеристику состоящей из действительной и мнимой частей:

где

Модуль спектральной характеристики S(щ) определяется выражением

и представляет собой четную функцию частоты.

Для фазы спектральной характеристики S(jщ) соответственно получаем

Так как из (1.42) и (1.43) следует, что A(щ) - четная функция частоты, а B(щ) - нечетная, то функция ц(щ) относительно частоты нечетна.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье легко приводится к тригонометрической:

Второй член в связи с нечетностью подынтегрального выражения равен нулю. Окончательно имеем

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализации, не очень далеких от реальности.

Пример 1.4 Найти спектр одиночного прямоугольного импульса, описываемого функцией времени (рис.1.9):

Выражение для спектральной характеристики амплитуд находим в соответствии с (1.41)

Искомый спектр представляет собой модуль этого выражения:

Спектр одиночного прямоугольного импульса (рис.1.10), естественно [см. (1.44)], имеет ту же форму, что и огибающая периодической последовательности таких импульсов (см. рис.1.6).

Пример 1.5 Определить спектр дельта-функции [см. соотношения (1.10) и рис.1.3].

Запишем выражение для спектральной характеристики S(j) дельта-функции, сосредоточенной в точке :

В соответствии с (1.11) имеем

откуда модуль спектральной характеристики

Следовательно, дельта-функции соответствует сплошной равномерный спектр, включающий в себя составляющие бесконечно больших частот (рис.1.11). При ой = 0 начальные фазы всех составляющих равны нулю.

Распределение энергии в спектре. Рассмотрим непериодический сигнал u(t), физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом.

Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе

В предположении, что интеграл (1.54) сходится, выразим энергию через модуль спектральной характеристики S(щ) сигнала u(t). Квадрат этого модуля запишем в виде

где

функция, комплексно-сопряженная спектральной характеристике S(jщ) сигнала u(t). Тогда

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного преобразования Фурье (1.42) получим

Окончательно имеем

Соотношение (1.56) известно как равенство Парсеваля. Оказывается, что энергию, выделяемую непериодическим сигналом за время его существования, можно определить, интегрируя квадрат модуля его спектральной характеристики в интервале частот.

Каждое из бесконечно малых слагаемых (1/р) |S(щ) |2dщ, соответствующих бесконечно малым участкам спектра, характеризует энергию, приходящуюся на спектральные составляющие сигнала, сосредоточенные в полосе частот от щ до щ + dщ.

§ 1.5 Соотношения между длительностью импульсов и шириной их спектров
Анализируя спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис.1.10), можно установить, что при увеличении его длительности ф от 0 до спектр сокращается от безграничного (у дельта-функции) до одной спектральной линии в начале координат, соответствующей постоянному значению сигнала. Это свойство сокращения ширины спектра сигнала при увеличении его длительности и наоборот справедливо для сигналов любой формы. Оно вытекает непосредственно из особенностей прямого и обратного интегрального преобразования Фурье, у которых показатель степени экспоненциальной функции в подынтегральных выражениях имеет переменные t и щ в виде произведения.

Рассмотрим функцию u(t) определенной продолжительности и функцию u(t), длительность которой при л>1 будет в л раз меньше. Считая, что u(t) имеет спектральную характеристику S(jщ), найдем соответствующую характеристику S(jщ) для u(t):

где =лt.

Следовательно, спектр укороченного в л раз сигнала ровно в л раз шире. Коэффициент l / л перед S(jщ / л) изменяет только амплитуду гармонических составляющих и на ширину спектра не влияет.

Другой важный вывод, также являющийся прямым следствием Фурье-преобразования, заключается в том, что длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами: если длительность сигнала ограничена, то спектр его неограничен, и, наоборот, сигнал с ограниченным спектром длится бесконечно долго. Справедливо соотношение

где Дt - длительность импульса; Дf - ширина спектра импульса; С - постоянная величина, зависящая от формы импульса (при ориентировочных оценках обычно принимают С=1).

Реальные сигналы ограничены во времени, генерируются и передаются устройствами, содержащими инерционные элементы (например, емкости и индуктивности в электрических цепях), и поэтому не могут содержать гармонические составляющие сколь угодно высоких частот.

В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение модели сигналов, обладающие как конечной длительностью, так и ограниченным спектром. При этом в соответствии с каким-либо критерием дополнительно ограничивается либо ширина спектра, либо длительность сигнала, либо оба параметра одновременно. В качестве такого критерия используется энергетический критерий, согласно которому практическую длительность Тп и практическую ширину спектра п выбирают так, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

Для сигналов, начинающихся в момент времени t0 = О, практическая длительность определяется из соотношения

где з - коэффициент, достаточно близкий к 1 (от 0,9 до 0,99 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала).

Принимая во внимание равенство Парсеваля (1.56), для практической ширины спектра сигнала соответственно имеем

§ 1.6 Спектральная плотность мощности детерминированного сигнала

Величина , характеризующая распределение энергии по спектру сигнала и называемая энергетической спектральной плотностью, существует лишь для сигналов, У которых энергия за бесконечный интервал времени конечна и, следовательно, к ним применимо преобразование Фурье.

Для незатухающих во времени сигналов энергия бесконечно велика и интеграл (1.54) расходится. Задание спектра амплитуд невозможно. Однако средняя мощность Рср, определяемая соотношением

оказывается конечной. Поэтому применяется более широкое понятие "спектральная плотность мощности". Определим ее как производную средней мощности сигнала по частоте и обозначим Сk(щ):

Индексом k подчеркивается, что здесь мы рассматриваем спектральную плотность мощности как характеристику детерминированной функции u(t), описывающей реализацию сигнала.

Эта характеристика сигнала менее содержательна, чем спектральная плотность амплитуд, так как лишена фазовой информации [см. (1.38)]. Поэтому однозначно восстановить по ней исходную реализацию сигнала невозможно. Однако отсутствие фазовой информации позволяет применить это понятие к сигналам, у которых фаза не определена.

Для установления связи между спектральной плотностью Сk(щ) и спектром амплитуд воспользуемся сигналом u(t), существующим на ограниченном интервале времени (-T<. t<T). К такому сигналу применимо равенство Парсеваля (1.56). Из сравнения (1.62) с правой частью соотношения (1.56) следует

где - спектральная плотность мощности сигнала, ограниченного во времени.

В дальнейшем будет показано (см. § 1.11), что, усредняя эту характеристику по множеству реализаций, можно получить спектральную плотность мощности для большого класса случайных процессов.

§ 1.7 Функция автокорреляции детерминированного сигнала
Теперь в частотной области имеется две характеристики: спектральная характеристика и спектральная плотность мощности. Спектральной характеристике, содержащей полную информацию о сигнале u(t), соответствует преобразование Фурье в виде временной функции. Выясним, чему соответствует во временной области спектральная плотность мощности, лишенная фазовой информации.

Следует предположить, что одной и той же спектральной плотности мощности соответствует множество временных функций, различающихся фазами. Советским ученым Л.Я. Хинчиным и американским ученым Н. Винером практически одновременно было найдено обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности:

где

Обобщенную временную функцию r(), не содержащую фазовой информации, назовем временной автокорреляционной функцией. Она показывает степень связи значений функции u(t), разделенных интервалом времени , и может быть получена из статистической теории путем развития понятия коэффициента корреляции. Отметим, что во временной функции корреляции усреднение проводится по времени в пределах одной реализации достаточно большой продолжительности.

Справедливо и второе интегральное соотношение для пары преобразования Фурье:

Пример 1.6 Определить временную функцию· автокорреляции гармонического сигнала u(t) = u0 cos(t-ц). В соответствии с (1.64)

Проведя несложные преобразования

окончательно имеем

Как и следовало ожидать, ru() не зависит от ц и, следовательно, (1.66) справедливо для целого множества гармоник, различающихся фазами.

§ 1.8 Случайный процесс как модель сигнала
Рассмотренные математические модели детерминированных сигналов являлись известными функциями времени. Их использование позволяет успешно решать задачи, связанные с определением реакций конкретных систем на заданные входные сигналы. Случайные составляющие, всегда имеющие место в реальном входном сигнале, считают при этом пренебрежимо малыми и не принимают во внимание.

Однако единственная точно определенная во времени функция не может служить математической моделью сигнала при передаче и преобразовании информации. Поскольку получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, однозначная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества возможных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется случайный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного процесса.

Необходимость применения статистических методов исследования диктуется и тем, что в большинстве практически важных случаев пренебрежение воздействием помехи в процессах передачи и преобразования информации недопустимо. Считается, что воздействие помехи на полезный сигнал проявляется в непредсказуемых искажениях его формы. Математическая модель помехи представляется также в виде случайного процесса, характеризующегося параметрами, определенными на основе экспериментального исследования. Вероятностные свойства помехи, как правило, отличны от свойств полезного сигнала, что и лежит в основе методов их разделения.

Учитывая, что все фундаментальные выводы теории информации базируются на указанном статистическом подходе при описании сигналов (и помех), уточним основные характеристики случайного процесса как модели сигнала.

Под случайным (стохастическим) процессом подразумевают такую случайную функцию времени U(t), значения которой в каждый момент времени случайны. Конкретный вид случайного процесса, зарегистрированный в определенном опыте, называют реализацией случайного процесса. Точно предсказать, какой будет реализация в очередном опыте, принципиально невозможно. Могут быть определены лишь статистические данные, характеризующие все множество возможных реализаций, называемое ансамблем. Ценность таких моделей сигналов в том, что появляется возможность судить о поведении информационной системы не по отношению к конкретной реализации, а по отношению ко всему ансамблю возможных реализаций.

Основными признаками, по которым классифицируются случайные процессы, являются: пространство состояний, временной параметр и статистические зависимости между случайными величинами U(ti) в разные моменты времени ti.

Пространством состояний называют множество возможных значений случайной величины U(ti). Случайный процесс, у которого множество состояний составляет континуум, а изменения состояний возможны в любые моменты времени, называют непрерывным случайным процессом. Если же изменения состояний допускаются лишь в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о непрерывной случайной последовательности.

Случайный процесс с конечным множеством состояний, которые могут изменяться в произвольные моменты времени, называют дискретным случайным процессом. Если же изменения состояний возможны только в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о дискретных случайных последовательностях.

Примеры реализаций указанных случайных процессов представлены на рис.1.1

Так как в современных информационных системах предпочтение отдается цифровым методам передачи и преобразования информации, то непрерывные сигналы с датчиков, как правило, преобразуются в дискретные, описываемые дискретными случайными последовательностями. Вопросы такого преобразования рассмотрены в гл.2.

Среди случайных процессов с дискретным множеством состояний нас будут интересовать такие, у которых статистические зависимости распространяются на ограниченное число k следующих друг за другом значений. Они называются обобщенными марковскими процессами k-го порядка.

Вероятностные характеристики случайного процесса. В соответствии с определением случайный процесс U(t) может быть описан системой N обычно зависимых случайных величин U1 = U(t1),..., Ui= U(ti),..., UN = U(tN), взятых в различные моменты времени t1... ti... tN. При неограниченном увеличении числа N такая система эквивалентна рассматриваемому случайному процессу U(t).

Исчерпывающей характеристикой указанной системы является N-мерная плотность вероятности pN(U1,..., Ui,..., UN; t1,..., tN). Она позволяет вычислить вероятность РN реализации, значения которой в моменты времени t1,t2,...,tN будут находиться соответственно в интервалах (u1, u1+Дu1),..., (ui, ui+ ui),..., (uN, uN + uN), где ui(1) - значение, принимаемое случайной величиной Ui, (рис.1.12).

Если Дui, выбраны достаточно малыми, то справедливо соотношение

Получение N-мерной плотности вероятности на основе эксперимента предполагает статистическую обработку реализаций, полученных одновременно от большого числа идентичных источников данного случайного процесса. При больших N это является чрезвычайно трудоемким и дорогостоящим делом, а последующее использование результатов наталкивается на существенные математические трудности.

На практике в таком подробном описании нет необходимости. Обычно ограничиваются одно - или двумерной плотностью вероятности.

Одномерная плотность вероятности p1(U1; t1) случайного процесса U(t) характеризует распределение одной случайной величины U1, взятой в произвольный момент времени t1. В ней не находит отражения зависимость случайных величин в различные моменты времени.

Двумерная плотность вероятности p2 = p2(U1, U2; t1, t2) позволяет определить вероятность совместной реализации любых двух значений случайных величин U1 и U2 в произвольные моменты времени t1 и t2 и, следовательно, оценить динамику развития процесса. Одномерную плотность вероятности случайного процесса U(t) можно получить из двумерной плотности, воспользовавшись соотношением

Использование плотности вероятности даже низших порядков в практических приложениях часто приводит к неоправданным усложнениям. В большинстве случаев оказывается достаточно знания простейших характеристик случайного процесса, аналогичных числовым характеристикам случайных величин. Наиболее распространенными из них являются моментные функции первых двух порядков: математическое ожидание и дисперсия, а также корреляционная функция.

Математическим ожиданием случайного процесса U(t) называют неслучайную функцию времени mu(t1), которая при любом аргументе t1 равна среднему значению случайной величины U(t\) по всему множеству возможных реализаций:

Степень разброса случайных значений процесса U(t1) от своего среднего значения mu(t1) для каждого t1 характеризуется дисперсией Du(t1):

где (t1) = U(t1) - mu(t1) - центрированная случайная величина.

Дисперсия Du(t1) в каждый момент времени t1 равна квадрату среднеквадратического отклонения u(t1):

Случайные процессы могут иметь одинаковые математические ожидания и дисперсии (рис.1.13, а, б), однако резко различаться по быстроте изменений своих значений во времени.

Для оценки степени статистической зависимости мгновенных значений процесса U(t) в произвольные моменты времени t1 и t2 используется неслучайная функция аргументов Ru(t1,t2), называемая автокорреляционной или просто корреляционной функцией.

При конкретных аргументах t1 и t2 она равна корреляционному моменту значений процесса U(t1) и U(t2):

Через двумерную плотность вероятности выражение (1.71) представляется в виде

В силу симметричности этой формулы относительно аргументов справедливо равенство

Для сравнения различных случайных процессов вместо корреляционной функции удобно пользоваться нормированной функцией автокорреляции:

Из сравнения (1.69) и (1.70) следует, что при произвольном t1 = t2 автокорреляционная функция вырождается в дисперсию:

а нормированная функция автокорреляции равна единице:

Следовательно, дисперсию случайного процесса можно рассматривать как частное значение автокорреляционной функции.

Аналогично устанавливается мера связи между двумя случайными процессами U(t) и V(t). Она называется функцией взаимной корреляции:

§ 1.9 Стационарные и эргодические случайные процессы

Случайные процессы различаются по степени однородности протекания их во времени. В общем случае процесс может иметь определенную тенденцию развития и характеристики, зависящие от начала отсчета времени. Такие случайные процессы называются нестационарными.

Для описания сигнала математическая модель в виде нестационарного случайного процесса подходит наилучшим образом, но неконструктивна в силу своей чрезмерной сложности.

Поэтому очень часто вводят предположение о стационарности случайного процесса, что позволяет существенно упростить математический аппарат исследования.

Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если выражения для плотностей вероятности не зависят от начала отсчета времени, т.е. справедливо соотношение

где U-случайная величина, отражающая значение процесса в момент времени t = ti + ф (ф - произвольное число).

Иначе говоря, стационарность процесса предполагает его существование и статистическую однородность во всем диапазоне времени от - до +.

Такое предположение противоречит физическим свойствам реальных сигналов, в частности тому, что всякий реальный сигнал существует лишь в течение конечного отрезка времени. Однако аналогично установившимся детерминированным процессам случайные процессы, протекающие в установившемся режиме системы при неизменных внешних условиях на определенных отрезках времени, с известным приближением можно рассматривать как стационарные.

При решении многих технических задач идут на дальнейшее упрощение модели, рассматривая случайный процесс стационарным в широком смысле. Процесс U(t) принято называть стационарным в широком смысле, если выполняется условие постоянства математического ожидания и дисперсии, а корреляционная функция не зависит от начала отсчета времени и является функцией только одного аргумента ф = t2 - t1, т.е.

Так как условие постоянства дисперсии является частным случаем требования к корреляционной функции при ф = 0:

то выполнения соотношений (1.79) и (1.81) достаточно, чтобы рассматривать случайный процесс U(t) как стационарный.

Всякий стационарный случайный процесс является стационарным в широком смысле. В дальнейшем, если это не оговорено особо, стационарность будем рассматривать в широком смысле.

Случайные процессы, наблюдаемые в устойчиво работающих реальных системах, имеют конечное время корреляции. Поэтому для стационарных процессов, представляющих практический интерес, справедливо соотношение

Если для случайного процесса равенства (1.79), (1.81) не выдерживаются, но на интересующем нас интервале времени изменением указанных параметров можно пренебречь, его называют квазистационарным.

Среди стационарных случайных процессов многие удовлетворяют свойству эргодичности. Оно проявляется в том, что каждая реализация случайного процесса достаточной продолжительности несет практически полную информацию о свойствах всего ансамбля реализаций, что позволяет существенно упростить процедуру определения статистических характеристик, заменяя усреднение значений по ансамблю реализаций усреднением значений одной реализации за длительный интервал времени.

Следовательно, для стационарных эргодических процессов справедливы соотношения

где u(t) - конкретная реализация случайного процесса U(t).

Результаты исследования случайных процессов в их временном представлении, т.е. с использованием формул (1.83) и (1.85), лежат в основе корреляционной теории сигналов.

Для облегчения практического определения корреляционных функций в соответствии с (1.85) серийно выпускаются специальные вычислительные устройства - коррелометры (корреляторы).

§ 1.10 Спектральное представление случайных сигналов
В § 1.2 была показана эффективность представления детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов для облегчения анализа прохождения их через линейные системы. Аналогичный подход может быть использован и в случае сигналов, описываемых случайными процессами [21].

Рассмотрим случайный процесс U(t), имеющий математическое ожидание mu(t). Соответствующий центрированный случайный процесс (t) характеризуется в любой момент времени t1 центрированной случайной величиной (t1):

Центрированный случайный процесс (t) можно, как и ранее [см. (1.1)], выразить в виде конечной или бесконечной суммы ортогональных составляющих, каждая из которых представляет собой неслучайную базисную функцию k(t) с коэффициентом Ck, являющимся случайной величиной. В результате имеем разложение центрированного случайного процесса (t):

Случайные величины Сk называются коэффициентами разложения. В общем случае они статистически зависимы, и эта связь задается матрицей коэффициентов корреляции . Математические ожидания коэффициентов разложения равны нулю. Неслучайные базисные функции принято называть координатными функциями.

Для конкретной реализации коэффициенты разложения являются действительными величинами и определяются по формуле (1.7).

Предположив, что

детерминированную функцию mu(f) в (1.86) на интервале - T<t<. T также можно разложить по функциям цk(t), представив в виде

Подставляя (1.87 а) и (1.876) в (1.86) для случайного процесса U(t) с отличным от нуля средним, получим

Выражение случайного процесса в виде (1.87 в) позволяет существенно упростить его линейные преобразования, поскольку они сводятся к преобразованиям

детерминированных функций [mu(t), k(t)], а коэффициенты разложения, являющиеся случайными величинами, остаются неизменными.

Чтобы определить требования к координатным функциям, рассмотрим корреляционную функцию процесса (t), заданную разложением

Так как

то

Соотношение (1.88) становится значительно проще, если коэффициенты {Ck} некоррелированы (Rkl = 0 при k l, Rkl = 1 при k = l):

В частности, при t1 = t2 = t получим дисперсию случайного процесса U(t):

Поэтому целесообразно выбирать такие координатные функции, которые обеспечивают некоррелированность случайных величин {Сk}. Разложение (1.87), удовлетворяющее этому условию, называют каноническим разложением.

Доказано [21], что по известному каноническому разложению корреляционной функции случайного процесса можно записать каноническое разложение самого случайного процесса с теми же координатными функциями, причем дисперсии коэффициентов этого разложения будут равны дисперсиям коэффициентов разложения корреляционной функции.

Таким образом, при выбранном наборе координатных функций центрированный случайный процесс характеризуется совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайного процесса.

В каноническом разложении (1.87) этот спектр является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число членов (линий).

Однако используются и интегральные канонические разложения в форме (1.2). В этом случае мы имеем непрерывный спектр, представляемый спектральной плотностью дисперсии.

Основным препятствием к широкому практическому использованию канонических разложений случайных процессов является сложность процедуры нахождения координатных функций. Однако для ряда стационарных случайных процессов эта процедура вполне приемлема.

§ 1.11 Частотное представление стационарных случайных сигналов
Дискретные спектры. Корреляционную функцию Ru() (рис.1.14) стационарного случайного процесса, заданного на конечном интервале времени [-Т, Т], можно разложить в ряд Фурье (1.15), условно считая ее периодически продолжающейся с периодом 4T (при - T<. t1, t2<T, - 2Ф<ф<2Ф):

где

Учитывая, что Ru() является четной функцией, имеем

Положив ф = t1 - t2, находим

что согласно (1.89) представляет собой каноническое разложение корреляционной функции. По нему, как было указано ранее, получаем каноническое разложение случайного процесса:

причем

Выражение (1.95) записано для случайного процесса с нулевой постоянной составляющей, что характерно для многих реальных сигналов. В общем случае в правую часть этого выражения необходимо добавить постоянную величину, соответствующую математическому ожиданию случайного процесса (mu). Корреляционная функция при этом не изменяется.

Очевидно, что при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами k каноническое разложение (1.95) приводится к тригонометрической форме.

Таким образом, стационарный случайный процесс на ограниченном интервале времени можно представить совокупностью гармонических составляющих различных частот с амплитудами, являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю:

где

На спектральной диаграмме такого процесса каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна дисперсии ее амплитуды, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте (рис.1.15).

Чтобы получить описание стационарного случайного процесса в точном смысле, т.е. справедливое для любого момента времени на бесконечном интервале - <t<, необходимо перейти к интегральному каноническому разложению.

Непрерывные спектры. Интегральное каноническое разложение для корреляционной функции получим из формулы (1.91) путем предельного перехода при Т. Увеличение интервала времени, на котором наблюдается случайный процесс, сопровождается уменьшением значений дисперсий, что следует из (1.92), а также сокращением расстояния между спектральными линиями, поскольку

При достаточно большом, но конечном Т можно записать выражение для средней плотности распределения дисперсии по частоте:

S(k) = Dk / (Дщ) = 2DkT / (k = 0,±l, ±2,.) (1.98)

где S(k) - средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте щk.

Теперь можно преобразовать формулы (1.94) и (1.98) к виду

Переходя к пределу при Т, получаем

где

Так как величина S(щk) Дщ являлась не только дисперсией Dk коэффициента разложения корреляционной функции Ru(), но и дисперсией D [Ck] коэффициента разложения случайного процесса U(t), то величина Suu() d, полученная в результате предельного перехода при Т, представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарного случайного процесса, занимающие бесконечно малый интервал частот (щ, щ + d). Функцию Suu(), характеризующую распределение дисперсии случайного процесса по частотам, называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса U(t).

Выражение для интегрального канонического разложения корреляционной функции Ru() найдем, положив в формуле (1.101) ф = t1 - t2:

Обозначив G() = Сk / () и повторив процедуру предельного перехода при T для соотношения (1.95), получим каноническое разложение стационарной случайной функции U(t):

где дисперсией случайной функции G() d является функция Suu() d.

Поскольку понятие спектральной плотности стационарного случайного процесса играет большую роль при исследовании преобразования сигналов линейными системами, уточним ее свойства и физический смысл.

Основные свойства спектральной плотности. Отметим, что в формулах (1.101) и (1.102) Suu() определена как для положительных, так и для отрицательных частот. Перейдем к одностороннему спектру, ограничиваясь только положительными частотами. Воспользовавшись формулой Эйлера, представим соотношение (1.102) состоящим из двух слагаемых:

В силу четности функции Ru() второе слагаемое равно нулю, а первое можно преобразовать к виду

Из (1.105) следует, что Suu() является действительной и четной функцией, т.е.

Это позволяет ограничиться положительными частотами и в (1.101):

Соотношения (1 101) и (1.102), а также (1.105) и (1.107) являются парами интегрального преобразования Фурье, причем (1.105) и (1.107) для случая четной функции. Поэтому корреляционная функция и спектральная плотность подчинены закономерности: чем протяженнее кривая Suu(щ), тем уже корреляционная функция Ru() (тем меньше время корреляции), и наоборот.

Площадь, ограниченная непрерывной кривой Suu() на спектральной диаграмме, очевидно, должна равняться дисперсии Du случайного процесса U(t). Действительно, положив в формуле (1.107) ф = 0, получим

Подразумевая под случайным процессом U(t) напряжение, Du можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на резисторе с сопротивлением в 1 Ом:

Следовательно, величина

представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот (щ, щ + d).

В связи с этим спектральную плотность Suu() называют еще спектральной плотностью мощности, а также энергетическим спектром стационарного случайного процесса, поскольку Suu() имеет размерность энергии.

Спектральная плотность мощности случайного процесса является средней характеристикой множества реализаций. Ее можно получить и путем усреднения спектральной мощности реализации Сk(щ) (1.62) по множеству реализаций.

Рассмотрим с этой целью одну реализацию u(t) стационарного случайного процесса U(t) сначала на ограниченном интервале времени - T<t<. T. Для нее можно записать преобразование Фурье:

В соответствии с (1.63) спектральная плотность мощности этой реализации

Найдем среднее значение С(щ) по множеству реализации k. Имеем

или

Так как мы предполагаем, что случайный процесс U(t) стационарный, то

где t1 - t2 = ф.

При выполнении условия (1.114) для выражения (1.113) существует предел при T:

что и требовалось показать.

Пример 1.7 У центрированного стационарного случайного процесса спектральная плотность постоянна. Рассмотреть особенности такого процесса.

Пусть спектральная плотность Suu(щ) ограничена определенной полосой частот (рис.1.16, а):

В соответствии с (1.107) найдем автокорреляционную функцию процесса U(t):

Вид функции Ru() приведен на рис.1.16,6. Значение ее при ф = 0 равно дисперсии, а следовательно, средней мощности рассматриваемого процесса:

Будем теперь расширять полосу частот, занимаемую энергетическим спектром (рис.1.17, а). Интервал времени, на котором наблюдается существенная корреляционная связь значений процесса, при этом уменьшается, а дисперсия Du возрастает.

При 0 дисперсия становится безграничной, а корреляционная функция принимает вид дельта-функции (рис.1.17,6).

Идеализированный случайный процесс, энергетический спектр которого безграничен и равномерен, известен как "белый шум". Такое название возникло по аналогии с белым светом, имеющим равномерный и неограниченный спектр интенсивности. Основная особенность процесса в том, что его значения в любые два сколь угодно близкие моменты времени некоррелированы. Создать белый шум принципиально невозможно, так как реальные источники сигналов всегда имеют ограниченную мощность. Тем не менее, понятие "белый шум" нашло широкое применение в информационной технике. Такая модель может быть принята, например, для сигналов (шумов), имеющих равномерный энергетический спектр в пределах полосы пропускания входного блока системы, в которой они рассматриваются.

Иногда говорят о "реальном белом шуме", подразумевая стационарный случайный процесс с равномерным энергетическим спектром в пределах конечной, но достаточно широкой полосы частот.

Пример 1.8 Определить спектральную плотность мощности случайного процесса с линейно убывающей нормированной функцией автокорреляции (рис.1.18).

Аналитическое выражение нормированной корреляционной функции запишем в виде

Воспользовавшись соотношением (1.105) при р„ (0) = 1, получим

Раскрывая по правилу Лопиталя неопределенность выражения (1.119) при щ = 0, найдем

Несложный дополнительный анализ дает возможность определить форму кривой Suu() (рис.1. 19).

Контрольные вопросы

1. В чем относительность сигнала и помехи?

2. Охарактеризуйте основной метод исследования сигналов.

3. Что понимают под детерминированным сигналом?

4. Назовите различные формы представления моделей сигналов.

5. В чем сущность спектрального представления сигналов?

6. Запишите условия ортогональности и ортонормированности системы функций.

7. Назовите преимущества частотного представления сигналов.

8. Дайте определение спектру амплитуд и спектру фаз.

9. В чем различие спектров периодического и непериодического сигналов?

10. Дайте определение практической ширины спектра периодического и непериодического сигналов.

11. Как связаны между собой длительность сигнала и ширина его спектра?

12. Каковы причины использования случайного процесса в качестве модели сигнала?

13. Назовите разновидности случайных функций времени.

14. В чем трудности точного математического описания случайного процесса?

15. Как определить математическое описание, дисперсию и корреляционную функцию случайного процесса?

16. Поясните физический смысл корреляционной функции, перечислите ее свойства.

17. Какой случайный процесс называется центрированным?

18. Дайте определение стационарности случайного процесса в узком и широком смысле.

19. Сформулируйте условие эргодичности стационарного случайного процесса.

20. Каков физический смысл дисперсии стационарного случайного процесса, имеющего размерность тока или напряжения

21. Что подразумевается под каноническим разложением случайного процесса?

22. Как определяются дисперсии случайных коэффициентов разложения по корреляционной функции процесса?

23. Запишите соотношения, связывающие корреляционную функцию стационарного случайного процесса с его спектральной плотностью.

24. Сформулируйте основные свойства спектральной плотности стационарного случайного процесса.

25. Какой случайный процесс называют белым шумом и каковы его основные характеристики?

Страницы: 1, 2