Актуальность : выбранной темы заключается в том, что теория ПЗЛ имеет практическое применение например: прокладывание газопровода, железнодорожных путей и т.д., но теория ПЗЛ не дает ответа как и сколькими способами это возможно сделать. В теории ПЗЛ дано лишь определение ПЗЛ и ее компонентов без выделения, каких либо свойств. А так решение проблемы выбранной темы является, частным случаем решения задачи Коммивояжера её ещё называют транспортной задачей.

Объект исследования: Планиметрия.

Предмет исследования: Простая замкнутая ломаная на плоскости.

Цели: Изучит понятие ПЗЛ, выделить его свойства и составить алгоритм построения.

Задачи:

1) Составить рекурсивный алгоритм позволяющий построить все возможные ПЗЛ через n произвольных точек плоскости (замечание эти точки должны быть вершинами ПЗЛ, и других вершин нет). Реализовать его в среде Turbo Pascal.

2) Дать верхнюю оценку количества способов построения ПЗЛ через n произвольных точек плоскости.

3) Составить не рекурсивный алгоритм и реализовать его на языке Turbo Pascal, позволяющий строить ПЗЛ для большого количества произвольных точек

Гипотезы:

1. ПЗЛ можно построить всегда, кроме случая когда все точки лежат на одной прямой.

2. Пусть через n точек проходят S прямых имеющих не менее 4-х данных точек, тогда через эти n точек можно провести не более чем

различных ПЗЛ, где k i -количество точек принадлежащих i-ой прямой, i=1,2…S

Глава 1

§1. Понятие ломаной

Фигура, образованная конечным набором отрезков, расположенных так, что конец первого является началом второго, конец второго - началом третьего и т.д., называется ломаной линией или просто ломаной (рис. 1). Отрезки называются сторонами ломаной, а их концы - вершинами ломаной.

Ломаная обозначается последовательным указанием ее вершин. Например, ломаная АВСDE, ломаная A1A2…An.

Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересечения (рис. 2).

Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последнего. Замкнутую ломаную, у которой точками самопересечения являются только начальная и конечная точки, также называют простой (рис. 3).

Длиной ломаной называется сумма длин ее сторон.

§2. Прямая на плоскости.

п.1. Уравнение прямой на плоскости.

Из курса геометрии известно, что любая прямая на плоскости xOy имеет уравнение (1)[2], где - постоянные.

Пусть даны две произвольные точки ипрямой l, тогда найдем уравнение прямой l, проходящей через эти точки.

Воспользуемся уравнением (1).

Рассмотрим два случая, когда 1) и 2).

1) Если то, уравнение(1) примет вид , т.е. прямая будет параллельна оси Оу или совпадать с ней.

Замечание: так как коэффициенты а и с заданы не однозначно, поэтому в алгоритмах, использующих уравнение прямой используется только геометрическая интерпретация этого случая, т.е. тот факт если прямая проходит через две точки у которых первые координаты равны, то эта прямая параллельна оси Оy.

2) Если тогда уравнение(1) можно представить в виде (2), где . Так как точки илежат на прямой l, то их координаты являются корнями уравнения(2). Поэтому для нахождения коэффициентов уравнения(2) достаточно решить систему уравнений

относительно этих переменных k и d, получим решение,

т.е. мы нашли уравнение прямой l.

Таким образом, если прямая не параллельна оси Оу то уравнение(1) равносильно уравнению иначе уравнение(1) равносильно уравнению .

п.2 Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Еще из школьного курса геометрии основной школы известно, что две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Пусть две прямые l: , и g: тогда если эти прямые параллельны, то [2] иначе .

Если две различные прямые l и g не параллельны, то они имеют общую точку. Координаты этой точки являются решением системы уравнений.

Глава 2

Введение: Перечень основных процедур и функций, используемых в программах

Function S_3(T,B,C:tochka):Boolean;

Функция истина если три точки лежат на одной прямой.

Идея: находим уравнение прямой l, проходящей через точки В и С, и проверяем на принадлежность точки Т прямой l .

Var k1,b1:real;

Begin

If ((B.x=C.x)and(B.x=T.x)) or

((B.y=C.y)and(B.y=T.y))then S_3:=true

else

if B.x=C.x then S_3:=false

else begin

k1:=(B.y-C.y)/(B.x-C.x);

b1:=B.y-k1*B.x;

if round(T.y)=round(k1*T.x+b1) then S_3:=true

else S_3:=false;

end

End;

Function Prin(T,B,C:tochka):boolean;

Функция истина если точка Т принадлежит отрезку ВС.

Идея: Если точка Т лежит на отрезке ВС, то она лежит на прямой проходящей через точки В и С, и заключена между ними.

Begin

If S_3(T,B,C) then

if (((B.x<=T.x)and(T.x<=C.x)) or ((C.x<=T.x)and(T.x<=B.x))) and

(((B.y<=T.y)and(T.y<=C.y)) or ((C.y<=T.y)and(T.y<=B.y)))

then Prin:=true

else Prin:=false

End;

§1. Function Peres, Блок Схема

Истина если отрезки [AB] и [CD] имеют общие точки за исключением случаев:

1) если отрезки совпадают;

2) если один конец отрезка совпадает с одним из концов другого отрезка, и других общих точек нет.

п.2 Function Peres, на языке Turbo Pascal

Function Peres (A, B, C, D: tochka): boolean;

Var O: tochka;

k1, k2, b1, b2: real;

s1, s2: Boolean;

Begin

{Проверка 1-го случая}

if (A.x=C.x)and(A.y=C.y) and (B.x=D.x)and(B.y=D.y) then Peres:=False

else

if (A.x=D.x)and(A.y=D.y) and (B.x=C.x)and(B.y=C.y) then Peres:=False

else

{Проверка 2-го случая}

If (A.x=C.x)and(A.y=C.y) then if Prin(D,A,B) or Prin(B,C,D) then Peres:=true else Peres:=False

else

If (A.x=D.x) and (A.y=D.y) then if Prin(C, A, B) or Prin (B,C,D) then Peres:=true else Peres:=False

else

If (B.x=C.x)and(B.y=C.y) then if Prin(D,A,B) or Prin(A,C,D) then Peres:=true else Peres:=False

else

If (B.x=D.x)and(B.y=D.y) then if Prin(C,A,B) or Prin(A,C,D) then Peres:=true else Peres:=False

else { общей случай }

If A.x=B.x then begin if C.x=D.x then if Prin(A,C,D) or

Prin(B,C,D) or

Prin(C,A,B) or

Prin(D,A,B) then Peres:=true else Peres:=false

else begin

k2:=(C.y-D.y)/(C.x-D.x);

b2:=C.y-k2*C.x;

O.x:=A.x;

O.y:=k2*O.x+b2;

if Prin(O,C,D) and Prin(O,A,B) then Peres:=true

else Peres:=False

end end

else if C.x=D.x then begin

k1:=(A.y-B.y)/(A.x-B.x);

b1:=A.y-k1*A.x;

O.x:=C.x;

O.y:=k1*O.x+b1;

if Prin(O,C,D) and Prin(O,A,B) then Peres:=true

else Peres:=False

end

else begin

k1:=(A.y-B.y)/(A.x-B.x);

k2:=(C.y-D.y)/(C.x-D.x);

if k1=k2 then {} if Prin(A,C,D) or

Prin(B,C,D) or

Prin(C,A,B) or

Prin(D,A,B) then Peres:=true

else Peres:=false

else begin

b1:=A.y-k1*A.x;

b2:=C.y-k2*C.x;

O.x:=(b1-b2)/(k2-k1);

if k1=0 then O.y:=b1

else if k2=0 then O.y:=b2

else O.y:=(b1/k1-b2/k2)/(1/k1-1/k2);

if Prin(O,C,D) and Prin(O,A,B)

then Peres:=true

else Peres:=false

end

End;

§2. Рекурсивный способ построения простой замкнутой ломаной

Идея: Чтобы перебрать все возможные способы построения простой замкнутой прямой мы воспользовались следующим алгоритмом построения:

1. Зафиксировали одну из n точек, т.к. не имеет значение, какая точка будет начальной т.к ломаная замкнутая;

2. Соединяя зафиксированную точку с одной из незанятых точек, получаем первую сторону ломаной.

3. Затем соединение продолжаем рекурсивно полным перебором всех незанятых точек, при условиях:

Ш Новую точку можно соединить с последней присоединённой точкой, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает ни одну из уже построенных сторон ломаной;

Ш Продолжаем построение до тех пор, пока есть незадействованные точки,

Ш Если свободных точек нет и отрезок, соединяющий последнюю присоединенную точку с первой, не пересекает ни одну из сторон построенной ломаной то, построенная ломаная и этот отрезок будут образовывать искомую замкнутую ломаную.

4. Возвращаемся к пункту 2 до тех пор пока не будут перебраны все незанятые точки.

Программа

Uses crt;

Const n=9 ;{Количество точек}

m=400;{}

Type tochka=record

x,y,r:real;

n:word;

end;

Mass=array[0..n] of tochka;

Var sch:word;

number:text;

Procedure Sozd_t(Var MT:Mass; n,m:Word);

Var i:word;

Begin randomize;

For i:=1 to n do

begin

MT[i].x:=random(m);

MT[i].y:=random(m);

MT[i].n:=i;

end;

End;

Procedure Sdvyg(Var MT:Mass;n1,n2:word);{n1- n2-}

Var i:word;

Begin

For i:=n1 to n2-1 do MT[i]:=MT[i+1];

MT[n2].x:=1000; MT[n2].y:=1000;

End;

{Сохраняем полученную ломаную}

Procedure Save(MT:mass);

Var i:word;

st1,st2:string[n];

Begin

sch:=sch+1; st2:='';

For i:=1 to n do

begin

Write(MT[i].n,' ');

str(MT[i].n,st1);

st2:=st2+st1;

end;

Writeln('---',sch,'---');

Writeln(number,st2);

readkey;

End;

Procedure Rekurs(MT:Mass;Kol:word;T:word);

Var i,j,g:word;

s:boolean;

Begin

MT[0]:=MT[t];

Sdvyg(MT,t,kol);

MT[kol]:=MT[0];

Kol:=kol-1;

IF kol>0 then

For j:=1 to kol do

begin s:=true;

for i:=kol+1 to n-1 do

if Peres(MT[j],MT[kol+1],MT[i],MT[i+1]) then s:=false;

if s then Rekurs(MT,kol,j)

end

ELSE begin s:=true;

For g:=1 to n-1 do

if Peres(MT[1],MT[n],MT[g],MT[g+1]) then s:=false;

if s then Save(MT);

end;

End;

Procedure Recurs_Soed(MT:Mass);

Var v:word;

Begin

For v:=1 to n-1 do Rekurs(MT,n-1,v)

End;

Procedure Proseivanie(var f1,f2:text);

Var st1,st2,st3:string[n];

S:boolean;

i,j,v:byte;

Begin v:=1;

Read(f1,st1);

Writeln(f2,st1);

While not eof(f1) do

begin

Readln(f1,st1);

reset(f2);{гбвў"ЁўҐ¬ Єгаб®Є ў з"® д©"}

s:=true;

st3[n]:=st1[n];

for i:=1 to n-1 do st3[i]:=st1[n-i];

{Џа®ўҐаЄ б®ўЇ¤ҐЁҐ st1 б г¦Ґ §ЇЁбл¬Ё ў f2}

While not eof(f2) and s do

begin

Readln(f2,st2);

j:=0;

For i:=1 to n do

if (st2[i]=st1[i]) or (st2[i]=st3[i]) then j:=j+1;

if j=n then s:=false;

end;

if s then begin Append(f2); Writeln(f2,st1); v:=v+1 end;

end;

writeln;

writeln('---',v,'---');

End;

Var MT:mass;

k,ch:word;

Loman:text;

BEGIN

clrscr;

sch:=0;

Sozd_T(MT,n,m);

assign(number,'number.txt');

Rewrite(number);

Recurs_Soed(MT);

readln;

Close(number);

Reset(number);

assign(Loman,'Loman.txt');

Rewrite(Loman);

Proseivanie(Number,Loman);

Close(Number);

Close(Loman);

readln;

END.

§3. Верхняя оценка количества способов построения ПЗЛ

Гипотеза: Пусть через n произвольных точек плоскости проходит S прямых содержащих не менее чем по 4-ре точки из данных, тогда через эти n точек возможно провести простых замкнутых ломанных не более чем где ki - количество точек из данных точек лежащих на i прямой, .

Доказательство:

? Этап.

1) Количество способов построения ломаных .

2) Количество способов построения замкнутых ломанных т.к. не имеет значение какая вершина будет начальной.

3) Очевидно, что количество ПЗЛ будет не больше количества замкнутых ломаных. Пусть L - количество способов построения ПЗЛ через n точек, тогда .

?? Этап.

Дано ki - количество точек лежащих на i прямой, где .

Пусть на каком-то шаге построения ПЗЛ мы пришли в т.А.

Рассмотрим рисунок.

Пусть т.Аi-ой прямой с ki - точками из данных. Рассмотрим случаи соединения точки А с точками на i прямой.

Точку А можно соединить максимум с двумя точками, лежащих на этой прямой, чтобы выполнялись условия построения. Количество же всевозможных случаев соединения точки А с другими точками прямой равно (ki-1). Посчитаем наименьшее количество случаев, которые не удовлетворяют условиям построения.

При каждом j обращении к точкам этой прямой будут не удовлетворять случаев.

Но т.к. таких прямых S получаем

случаев построения ломаных удовлетворяющих условиям построения.

Если не имеет значения направление обхода ломаной то, в итоге получаем количество способов построения ПЗЛ будет

§4. Построения простой замкнутой ломаной методом "Треугольника"

п.1 Идея метода

Идея: Пусть даны n произвольных точек на плоскости.

1. Выбираем любую из них, назовем "первой". Затем берем две ближайшие к ней точки. На этих трех выбранных точках строим треугольник.

2. Берем следующую ближайшую, не занятую точку к "первой".

3. Ищем ближайший отрезок

п.2 Реализация на языке Паскаль

uses crt,graph;

Const n=10; {Задаём количество точек}

m=400;{Длина стороны квадрата на котором расположены точки}

Type

tochka=record

x,y,r:real;

end;

Mass=array[0..n] of tochka;

Var sch:word; {Счетчик точек}

{Задает произвольным образом n точек в квадрате со стороной m }

Procedure Sozd_t(Var A:Mass; n,m:Word);

Var i:word;

Begin randomize;

For i:=1 to n do

begin

A[i].x:=random(m);

A[i].y:=random(m);

end;

End;

{Рисует отрезок ВС}

Procedure Lin(B,C:tochka);

Begin

Line(Round(B.x),Round(B.y),Round(C.x),Round(C.y))

End;

{Определяет расстояние между точками}

Function R_TT(Var A,B:tochka):real;

Begin R_TT:=Sqrt(sqr(A.x-B.x)+sqr(A.y-B.y));

End;

{Определяет расстояние между i-ой точкой и другими}

Procedure Rasst_TT(Var A:Mass; i,n:word);

Var j:word;

Begin

For j:=1 to n do

A[j].r:=R_TT(A[i],A[j])

End;

{Устраняет отрицательные значения расстояния}

Procedure absal(Var A:Mass; n1,n2:word);

Var i:word;

Begin

For i:=n1 to n2 do A[i].r:=abs(A[i].r)

End;

{Ищет номер ближайшей точки к i-ой}

Function PoiskNT(Var A:Mass; n1,n2:word):word;

var i,j:word;

Begin j:=n1;

While A[j].r<0 do j:=j+1;

For i:=n1 to n2 do

if (A[i].r>0) and (A[i].r<A[j].r) then j:=i;

PoiskNT:=j;

End;

{Сдвигает точки в массиве на 1 позицию влево начиная с n1 до n2}

Procedure Sdvyg(Var A:Mass;n1,n2:word);

Var i:word;

Begin

For i:=n1 to n2-1 do A[i]:=A[i+1];

A[n2].x:=1000; A[n2].y:=1000;

End;

{Ищет основание перпендикуляра опущенного из точки Т на прямую проходящую через точки В иС}

Procedure Osn(T,B,C:tochka;var O:tochka);

Var k,b2,a1,b1,c1:real;

Begin

If (B.x=C.x) then begin O.x:=B.x; O.y:=T.y end

else begin

k:=(B.y-C.y)/(B.x-C.x);

b2:=B.y-k*B.x;

a1:=2*(B.x-C.x)+2*k*(B.y-C.y);

b1:=2*b2*(B.y-C.y)+(sqr(C.x)-sqr(B.x))+(sqr(C.y)-sqr(B.y));

c1:=sqr(B.x-T.x)+sqr(B.y-T.y)-sqr(C.x-T.x)-sqr(C.y-T.y);

O.x:=(-c1-b1)/a1;

O.y:=k*O.x+b2;

end;

End;

{Функция истина если три точки лежат на одной прямой}

FUNCTION S_3(T,B,C:tochka):Boolean;

{Функция истина если точка Т принадлежит отрезку ВС}

Function Prin(T,B,C:tochka):boolean;

Begin

If S_3(T,B,C) then

if (((B.x<=T.x)and(T.x<=C.x)) or ((C.x<=T.x)and(T.x<=B.x))) and

(((B.y<=T.y)and(T.y<=C.y)) or ((C.y<=T.y)and(T.y<=B.y)))

then Prin:=true

else Prin:=false

End;

{Возвращает расстояние между точкой и отрезком ВС}

Function R_TO(T,B,C:tochka):real;

Var T1:tochka;

Begin

Osn(T,B,C,T1);

If prin(T1,B,C) then R_TO:=R_tt(T1,T)

else if R_tt(T,B)<=R_tt(T,C) then R_TO:=R_tt(T,B)

else R_TO:=R_tt(T,C)

End;

{Строит ломанную через точки с номера n1 до n2}

Procedure Postr(A:Mass;n1,n2:word);

Var i:word;

Begin

for i:=n1 to n2 do begin PieSlice(Round(A[i].x), Round(A[i].y), 0, 360, 2);

if i=n2 then

Line(Round(A[n2].x),Round(A[n2].y),Round(A[n1].x),Round(A[n1].y))

else Line(Round(A[i].x),Round(A[i].y),Round(A[i+1].x),Round(A[i+1].y))

end;

End;

{Выдает информацию о количестве задействованных точек}

Procedure Schet;

Var st:string;

code:integer;

Begin sch:=sch+1;

str(sch,st);

OuttextXY(600,100,st)

End;

{Истина если отрезки [AB] и [CD] имеют общие точки за исключением случаев 1) если отрезки совпадают;

2) если один конец отрезка совпадает с одним из концов другого отрезка и других общих точек нет.}

Function Peres(A,B,C,D:tochka):boolean;

Var A:mass;

B,C:tochka;

Danger,s1,s2,s3,s4:boolean;

T,OL,O,OK,OKP,i,j,t1,t2,o1,o2:word;

grDriver : Integer;

grMode : Integer;

ErrCode : Integer;

st:string;

BEGIN

sch:=0;

grDriver:=Detect;

InitGraph(grDriver, grMode, '');

ErrCode:=GraphResult;

clrScr;

Sozd_t(A,n,m); {‡¤Ґ¬ Їа®Ё§ў®"м® в®зЄЁ }

Rasst_TT(A,n);

A[0]:=A[1];

Sdvyg(A,1,n);

A[n]:=A[0];

i:=PoiskNT(A,1,n-1);

A[0]:=A[i];{€йҐ¬ Ў"Ё¦йЁо в®зЄг Є T}

Sdvyg(A,i,n-1);

Sdvyg(A,n-1,n);

A[n]:=A[0];

i:=Poisknt(A,1,n-2);{€йҐ¬ 2-о Ў"Ё¦йоо в®зЄг Є T}

While S_3(A[i],A[n-1],A[n]) do {!!!!}

begin A[i].r:=-A[i].r; i:=Poisknt(A,1,n-2) end;

A[0]:=A[i];

Sdvyg(A,i,n-2);

Sdvyg(A,n-2,n);

A[n]:=A[0];

textcolor(1);

t1:=1; t2:=n-3;

o1:=n-2; o2:=n;

ClearDevice;

Postr(A,o1,o2);

readkey;

sch:=3;

Repeat

Absal(A,1,n);

{Ќе®¤Ё¬ Ў"Ё¦йЁо в®зЄг ў бв. Є®"мжҐ}

T:=Poisknt(A,t1,t2);

For i:=o1 to o2-1 do

A[i].r:=R_TO(A[T],A[i],A[i+1]);

A[o2].r:=R_TO(A[T],A[O2],A[O1]);

j:=t1-1;

Repeat

j:=j+1;

O:=O1;

while A[O].r<0 do O:=O+1;

For i:=O1 to O2 do

if (A[i].r>0) and (A[i].r<A[O].r) then O:=i;

{ЋЇаҐ¤Ґ"пҐ¬ "ЁзЁҐ Ї"®еЁе ваҐгЈ®"мЁЄ®ў}

if O=O2 then Ok:=O1 else Ok:=O+1;

Cleardevice;

setcolor(blue);

postr(A,o1,o2);

PieSlice(Round(A[o1].x), Round(A[o1].y), 0, 360, 5);

PieSlice(Round(A[o2].x), Round(A[o2].y), 0, 360, 5);

PieSlice(Round(A[t].x), Round(A[t].y), 0, 360, 3);

setcolor(15);

lin(A[t],A[o]);lin(A[t],A[ok]);

setcolor(4);

lin(A[o],A[ok]);

readkey;

s4:=false;

For i:=o1 to o2-1 do

if Peres(A[T],A[O],A[i],A[i+1]) or

Peres(A[T],A[Ok],A[i],A[i+1]) then begin s4:=true; setcolor(green); lin(A[i],A[i+1]);

str(A[i].x,st); OuttextXY(400,300,st);

str(A[i].y,st); OuttextXY(400,310,st);

str(A[i+1].x,st); OuttextXY(400,320,st);

str(A[i+1].y,st); OuttextXY(400,330,st);

str(A[T].x,st); OuttextXY(400,340,st);

str(A[T].y,st); OuttextXY(400,350,st);

str(A[O].x,st); OuttextXY(400,360,st);

str(A[O].y,st); OuttextXY(400,370,st);

str(A[Ok].x,st); OuttextXY(400,380,st);

str(A[Ok].y,st); OuttextXY(400,390,st);

readkey end;

if Peres(A[T],A[O],A[o2],A[o1]) or

Peres(A[T],A[Ok],A[o2],A[o1]) then begin s4:=true; setcolor(green); lin(A[i],A[i+1]);readkey end;

if s4 then A[O].r:=-A[O].r;

until (A[O].r>0) {or (j=t2)};

if A[O].r>0 then

Begin {ЏҐаҐ¬ҐйҐ¬ в®зЄг ' ў ®ў®Ґ Є®"мж®}

ClearDevice;

setcolor(4);

PieSlice(Round(A[o1].x), Round(A[o1].y), 0, 360, 3);

setcolor(1);

Postr(A,o1,o2);

PieSlice(Round(A[t].x), Round(A[t].y), 0, 360, 5);

Lin(A[o],A[ok]);

delay(3000);

A[0]:=A[T];

Sdvyg(A,t,t2);

O1:=t2;

t2:=t2-1;

A[O]:=A[0];

schet;

readkey;

End

else Danger:=true;

Cleardevice;

Postr(A,o1,o2);

Until Danger or (t2=0);

Textcolor(4);

Writeln('ђҐ§г"мвв аЎ®вл Їа®Ја¬¬л');

If Danger then begin CloseGraph; Writeln('`®Ґ¤ҐЁвм в®зЄЁ Ґў®§¬®¦®'); readln; end

else begin ClearDevice;

Postr(A,o1,o2);

readkey;

Closegraph;

end;

END.

Список литературы

1. Фаронов Turbo Pascal 7.0.

2. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 288с.

3. Дискретная математика для программистов / Новиков Ф. А. - Спб.: Питер, 2001. - 304 с. :ил.