ВВЕДЕНИЕ
Основная часть данной работы направлена на практическое освоение метода динамического программирования на примере решения хорошо изученных задач, а именно: простейшей задачи оптимального распределения ресурсов и задачи управления запасами продукта при случайном спросе на него.

Кроме теоретических основ и практических рекомендаций, необходимых для численного решения указанных задач, связанных с простым классом одномерных процессов распределения [1], дополнительно рассматриваются задачи оптимального распределения при наличии двух типов ресурсов и двух типов ограничений, в рамках которых возможны не только постановка и решение большого числа прикладных задач [1, 5], но также выявление существенных и качественных особенностей, связанных с применением метода динамического программирования, при переходе к задачам с многомерными процессами распределения.

Цель работы: знакомство с постановкой задачи оптимального распределения ограниченного ресурса и методом множителей Лагранжа в задачах условной оптимизации, изучение принципа оптимальности Беллмана и вычислительной схемы решения задачи оптимального распределения ограниченного ресурса методом динамического программирования, разработка программы для численного решения задачи и проведение расчетов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Постановка простейшей задачи оптимального распределения

ограниченного ресурса

В различных производственно-экономических системах значительное число решаемых задач тесно связано с эффективным использованием и распределением ограниченных ресурсов, необходимых для нормального функционирования таких систем. Переходя к формулировке одной из простейшей задач такого класса, вначале опишем кратко процессы, обусловливающие возникновение этого типа задач.

Пусть некоторая производственно-экономическая система располагает заданным количеством какого-либо экономического ресурса, под которым подразумеваются материальные, трудовые, финансовые либо иные ресурсы, необходимые для функционирования системы. В случае нескольких потребителей указанного ресурса или далее соответствующих технологических процессов возникает следующая задача: разделить имеющееся количество ресурса между ними так, чтобы максимизировать их суммарную эффективность или получаемый доход от этих процессов [1].

Для математической постановки этой задачи требуется принять следующие основные предположения [1]:

1) эффективности каждого из рассматриваемых технологических процессов, например в виде соответствующих доходов, могут быть измерены общей единицей: либо в виде валового выпуска однородного продукта, либо в стоимостной форме;

2) эффективность каждого технологического процесса не зависит от

того, какие количества ресурсов были выделены для других технологических процессов;

3) общая эффективность или, что то же самое, суммарный доход от всех технологических процессов - аддитивная величина, то есть величина, равная сумме доходов, получаемых от каждого процесса в отдельности.

Тогда математическая постановка задачи оптимального распределения ограниченного ресурса формулируется следующим образом [1].

Предположим, что имеется N технологических процессов, занумерованных в определенном порядке числами 1, 2, ... , N , и каждому такому процессу поставлена в соответствие некоторая функция, оценивающая его эффективность, а именно: величина дохода в зависимости от количества выделенного ресурса для этого процесса. Пусть xi - количество выделенного ресурса i-му процессу (i = 1, 2, ... , N ), а величина дохода, получаемого в этом процессе, задается функцией gi = gi (xi ) . Отметим, что в качестве таких функций можно выбирать, например, производственные функции или функции полезности неоклассического типа [2, 3].

С учетом второго и третьего предположения - о независимости процессов и аддитивности их общей эффективности - для суммарного дохода от распределения ограниченного ресурса между указанными N технологическими процессами получим следующее выражение:

В силу ограниченности распределяемого ресурса, располагаемое количество которого здесь обозначим через z, для переменных задачи xi , i = 1, 2, ... , N , имеет место следующее ограничение:

которое вместе с условиям неотрицательности для этих же переменных

задает допустимую область определения для функции (1.1). Таким образом, задача оптимального распределения ограниченного ресурса заключается в том, чтобы определить значения переменных xi , i = 1, 2, ... , N , которые доставляют максимальное значение функции R(x1, x2 , ... , xN ) (1.1), удовлетворяя при этом ограничениям (1.2), (1.3). Задача (1.1) - (1.3) относится к классу задач условной оптимизации. Ограничения, задающие в этих задачах допустимые множества, обычно в математической экономике разделяют на две группы, а именно: ограничения вида (1.2) относят к функциональным ограничениям, а ограничения вида (1.3) - к прямым ограничениям [2]. Значения xi , i = 1, 2, ... , N , для которых доставляется максимальное значение функции (1.1) с учетом (1.2), (1.3), называют решением задачи, а соответствующие значения функции (1.1), то есть max R(x1, x2 , ... , xN ) , - значением задачи. Если ограничения задачи, заданные в виде нестрогих неравенств, для ее решения обращаются в равенства, то такие ограничения тогда называют эффективными; иначе эти ограничения являются неэффективными, и в связи с этим их можно в процессе решения задачи отбрасывать.

Исходные параметры

1. z - располагаемое количество ресурса,

2. n - мера квантования z

Искомые параметры
1. fN (z) = fN (nД ) - искомый максимум функции R

2. xN (z) - искомое оптимальное количество ресурса

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Переходя к изложению вычислительной схемы решения задачи с применением основного функционального уравнения (1.15), предположим (а это существенно для дальнейшего изложения), что переменные задачи N i xi , ... 2, 1, , = , а также количества распределяемого ресурса как в (1.10), так и в (1.15) могут принимать только дискретные значения с некоторым выбранным шагом ѓў >0. То есть имеет место:

где nѓў = z . Соответственно, функции (1.10) в рекуррентном соотношении (1.15) будут вычисляться только для указанных в (1.16) значений или, что то же самое, только для таких точек:

Указанный подход позволяет избежать процедуры интерполирования при вычислении значений , исходя из вычисленных значений fm?1( y) в точках y = 0, ѓў , 2ѓў , ... , z . Действительно, для вычисления под знаком максимума в (1.15) значения ? интерполирования не требуется, так как здесь с учетом (1.16) и (1.17) имеет место: .

Согласно (1.15), для вычисления вначале следует найти значения для всех значений из (1.16) с помощью соотношений (1.12)

или (1.13), которые доставляют множество всех требуемых значений

. Затем для всех (1.16) с учетом (1.15) вычисляются значения:

где.Процедура максимизации (1.18) заключается в том, чтобы вначале для каждого z ~ последовательно вычислить значения: а затем выбрать из них максимальное, то есть искомое значение ; при этом определяется и соответствующее ему оптимальное значение .

Получив множество значений для , можно приступить к вычислению функции исходя из (1.15) при m =3:

и т.д. для остальных m = 4, 5, ... , N .

Таким образом, в процессе решения уравнения (1.15) для m = 2, 3, ... , N

последовательно заполняется таблица, подобная табл. 1.1.

Таблица 1.1

Оптимальные доходы в зависимости от количества процессов

и выделенного ресурса

С заполнением последних двух столбцов указанной таблицы решение

задачи фактически получено. Действительно, поскольку функция по построению монотонно неубывающая по , постольку fN (z) = fN (nѓў ) - искомый максимум функции R (1.1), а xN (z) - искомое оптимальное количество ресурса, выделенное для N-го процесса. Стало быть, оставшееся количество ресурса, равное z ? xN (z) , должно быть распределено оптимальным образом между остальными процессами. Соответствующее решение, то есть оптимальный доход (1.10) для первых N ?1 процессов, находится в столбце с заголовком ? , а именно: в строке, отвечающей значению . В этой же строке в столбце с заголовком ? находится величина оптимального количества ресурса, который выделяется для (N ?1)-го процесса. Таким образом, перемещаясь по столбцам табл. 1.1 справа налево (это т.н. обратный ход [1, 3]), можно последовательно определить все значения , которые доставляют абсолютный максимум функции R(x1, x2 , ... , xN ) (1.1) в области (1.2), (1.3) для заданного количества распределяемого ресурса - z, конечно же, с учетом дополнительных ограничений (1.16), (1.17)

ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ

Курсовая работа выполнена с помощью программы Microsoft Office Excel, одной из наиболее передовых, мощных и современных сред разработки Windows-приложений и электронных таблиц. Встроенное средство поиска решений позволяет быстро справиться с задачей о распределения ресурсов.

ОПИСАНИЕ ИНТЕРФЕЙСА ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ
Для начала работы с программой следует задать n и z и нажать кнопку определить

После этого программа создаст таблицы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования /Р. Беллман, С. Дрейфус. - М.: Наука, 1965. - 460 с.

2. Ланкастер, К. Математическая экономика / К. Ланкастер. - М.: Советское радио, 1972. - 464 с.

3. Колемаев, В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. - М.:

ЮНИТИ, 1998. - 240 с.

4. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией / Р. Беллман. - М.: Наука, 1964. - 360 с.

5. Первозванский, А.А. Математические модели в управлении производством / А.А. Первозванский. - М.: Наука, 1975. - 616 с.

6. Калихман, И.Л. Динамическое программирование в примерах и задачах / И. Л. Калихман, М. А. Войтенко. - М.: Высшая школа, 1979. - 125 с.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

Public Function f_g1(x As Double) As Double

f_g1 = 2.5 * Sqr(x) / (Sqr(x) + 1)

End Function

Public Function f_g2(x As Double) As Double

f_g2 = 6 * x * (1 - Exp(-x / 4)) / (x + 4)

End Function

Public Function f_g3(x As Double) As Double

f_g3 = 2 * x / (x + 0.5)

End Function

Private Sub CommandButton1_Click()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

Dim z As Double

Dim d As Double

Dim m_str As String

Range("A1").Select

n = Val(TextBox1.Text)

z = Val(TextBox2.Text)

d = z / n

ActiveCell.Cells(1, 2) = n

ActiveCell.Cells(2, 2) = z

Range("A11").Select

For i = 1 To 100

For j = 1 To 10

ActiveCell.Cells(i, j) = ""

For i = 1 To 10

ActiveCell.Cells(0, i) = 0

For i = 1 To n

ActiveCell.Cells(i, 1) = i * d

ActiveCell.Cells(i, 2) = f_g1(i + 0#)

ActiveCell.Cells(i, 3) = f_g2(i + 0#)

ActiveCell.Cells(i, 4) = f_g3(i + 0#)

ActiveCell.Cells(i, 5) = f_g1(i + 0#)

For i = 1 To n

ActiveCell.Cells(i + 0, 7) = GetF2Val(i + 0, d)

ActiveCell.Cells(i + 0, 8) = Int(GetF2Pos(i + 0, d) * d)

ActiveCell.Cells(i + 0, 9) = GetF3Val(i + 0, d)

ActiveCell.Cells(i + 0, 10) = Int(GetF3Pos(i + 0, d) * d)

ActiveCell.Cells(i + 0, 6) = Abs(z - ActiveCell.Cells(i + 0, 8) - ActiveCell.Cells(i + 0, 10))

ListBox1.Clear

For i = 1 To 3

m_str = Str(i) + ": X = " + Str(ActiveCell.Cells(n + 0, 4 + i * 2)) + " F = " + Str(ActiveCell.Cells(n + 0, 3 + i * 2))

ListBox1.AddItem (m_str)

Range("A10:J10").Select

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Hide

End Sub

Public Function GetF2Val(n As Integer, d As Double) As Double

Dim maxs As Double

maxs = f_g2(0) + f_g1(n * d)

For i = 1 To n

If f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d) >= maxs Then

maxs = f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d)

End If

GetF2Val = maxs

End Function

Public Function GetF2Pos(n As Integer, d As Double) As Integer

Dim maxs As Double

Dim maxp As Integer

Range("A11").Select

maxs = f_g2(0) + f_g1(n * d)

max_p = 0

For i = 1 To n

If f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d) >= maxs Then

maxs = f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d)

maxp = i

End If

GetF2Pos = maxp

End Function

Public Function GetF3Val(n As Integer, d As Double) As Double

Dim maxs As Double

maxs = f_g3(0) + f_g2(n * d)

For i = 1 To n

If f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d) >= maxs Then

maxs = f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d)

End If

GetF3Val = maxs

End Function

Public Function GetF3Pos(n As Integer, d As Double) As Integer

Dim maxs As Double

Dim maxp As Integer

Range("A11").Select

maxs = f_g3(0) + f_g2(n * d)

max_p = 0

For i = 1 To n

If f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d) >= maxs Then

maxs = f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d)

maxp = i

End If

GetF3Pos = maxp

End Function