Характерной чертой научно-технического прогресса, определяющей мощный дальнейший подъем общественного производства, является широкое внедрение электроники во все отрасли народного хозяйства. Стремительное развитие промышленности и технологий, определило дальнейшее развитие науки на несколько поколений вперёд. Одним из самых приоритетных направлений науки является микроэлектроника, позволившая достичь высочайших технологий, которые, в свою очередь, нашли широчайшее применение как в промышленности, так и в научной сфере. Стык этих двух сфер сформировал величайшее изобретение современности - цифровой электронный компьютер.

Парк компьютеров разнообразного назначения растёт стремительными темпами. В настоящее время персональный компьютер является неотъемлемой частью любого предприятия, учебных заведений, вычислительных центров, и других учреждений. С каждым днем растут объемы передаваемой и принимаемой информации. В связи с этим становится особенно актуальной проблема сохранения целостности передаваемой и обрабатываемой информации. Память компьютера время от времени может делать ошибки из-за всплесков напряжения на линии электропередачи и по другим причинам. Передача информации также сопряжена с различного рода ошибками. Чтобы бороться с такими ошибками, были разработаны специальные способы кодирования информации, позволяющие обнаружить и исправить возможные ошибки. Существует большое количество видов помехоустойчивого кодирования. Некоторые виды настолько сложны, что требуют создания специального математического аппарата, другие же, напротив, достаточно просты и понятны. Эффективность разных способов кодирования существенно различается. Изучение методов кодирования часто становится проблемой из-за излишней математизированости материала и недостаточной наглядности. Между тем, возможно самостоятельное изготовление простого электрифицированного стенда, которое не приведет к значительным материальным затратам. Это позволяет сформулировать рабочую гипотезу исследования: изготовление и использование электрифицированного учебного стенда позволит повысить наглядность работы устройств кодирования/декодирования и, как следствие, качество усвоения материала студентами, что говорит об актуальности выбранной темы.

Целью дипломного проекта является разработка относительно недорого электрифицированного стенда «Устройство кодирования - декодирования 32х разрядных слов методом Хэмминга». В ходе написания дипломного проекта использовались следующие методы: исследование проблемы, анализ возможных путей решения, проектирование и модернизация стенда.

1 Анализ способов кодирования информации

История кодирования, контролирующего ошибки, началась в 1948 г. публикацией знаменитой статьи Клода Шеннона. Шеннон показал, что с каждым каналом связано измеряемое в битах в секунду и называемое пропускной способностью канала число С, имеющее следующее значение. Если требуемая от системы связи скорость передачи информации R (измеряемая в битах в секунду) меньше С, то, используя коды, контролирующие ошибки, для данного канала можно построить такую систему связи, что вероятность ошибки на выходе будет сколь угодно мала. Основной сдвиг произошел, когда Боуз и Рой-Чоудхури и Хоквингем нашли большой класс кодов, исправляющих кратные ошибки (коды БЧХ), а Рид и Соломон нашли связанный с кодами БЧХ класс кодов для недвоичных каналов. Хотя эти коды остаются среди наиболее важных классов кодов, общая теория блоковых кодов, контролирующих ошибки, с тех пор успешно развивалась.

Код есть форма представления сообщения, не зависящая от его физической сути. Это отличает код от сигнала, который определяет физическое представление сообщения (и кода) в системе связи. На практике часто связывают абстрактную (символьную) форму кода с физическими сигналами, называя код частотным, временным, фазовым, амплитудным. Код представляют совокупностью (кодовых) символов; помехоустойчивый код позволяет обнаруживать или исправлять ошибки в совокупности кодовых символов. Если сообщения обладают внутренними корреляционными связями, т. е. если одно сообщение некоторым образом зависит от другого, как это обычно бывает при передаче текстов на естественных языках, то помехоустойчивость любого кода может быть повышена за счет статистических связей между сообщениями. Если эти связи слабые, или неизвестны, или их нельзя использовать для повышения помехоустойчивости, то в этом случае форма представления сообщения должна быть избыточной; в частности, число символов в коде сообщения увеличивают, а между кодовыми символами вводят искусственные корреляционные связи. Поэтому в некоторых случаях помехоустойчивые коды называют избыточными. Введение избыточности в код позволяет помимо обнаружения и исправления ошибок повысить энергетическую эффективность линии связи, сузить частотный спектр передаваемого сигнала, сократить время вхождения в связь путем повышения помехозащищенности тракта синхронизации, улучшить корреляционные свойства ансамбля сигналов, простыми средствами реализовать разнесенный прием. Вид помехоустойчивого кода зависит от структуры системы связи, обобщенная схема которой приведена на рис. 1.1. Рассматриваем системы связи, передающие только дискретные сообщения. В современных системах передачи дискретных сообщений последние поступают на вход системы, как правило, от нескольких источников. Даже если внешний источник один, сама система связи содержит источник сигналов служебной связи, телеуправления и телесигнализации (ТУ-ТС). Скорость поступления сообщений от разных источников может быть как одинаковой, так и различной синхронной с собственной тактовой частотой аппаратуры связи или асинхронной с ней. Блок уплотнения (БУ) объединяет сообщения, поступающие от разных источников, в единую последовательность, как правило, двоичных символов с тактовой частотой, соответствующей скорости передачи системы связи.

Рис. 1.1 -- Схема системы связи

· ИИ - источник информации;

· БУ - блок уплотнения сообщений;

· КДШ, КДВ - кодеры внешний, внутренний;

· ПРШ, ПРВ - перемежители внешний, внутренний;

· М - модулятор;

· ПД - передатчик;

· ЛС - линия связи;

· ПР - приемник;

· Д - демодулятор;

· АЦП - аналого-цифровой преобразователь;

· БДС, БПС, БЛС - блоки додетекторного, последетекторного, логического сложения;

· ДПШ, ДПВ - деперемежители внешний, внутренний;

· ДКШ, ДКВ - декодер внешний, внутренний;

· БР-блок разуплотнения сообщений;

· ПИ-получатель информации;

· КОС - канал обратной связи

Если скорости поступления сообщений от источников асинхронны по отношению к собственной тактовой частоте системы связи, БУ осуществляет асинхронный ввод сообщений. Для того чтобы при временном уплотнении различить сообщения на стороне приема, БУ формирует маркер, обозначающий место первого источника в общем цифровом потоке. Маркер повторяется периодически, образуя сигнал цикловой синхронизации. Кодер вводит избыточность в передаваемый поток двоичных символов, причем кодирование сообщений в зависимости от требуемой степени повышения помехоустойчивости может выполняться поэтапно и соответственно этапам различными кодерами. Первый после БУ кодер называют внешним (КДШ), последний - внутренним (КДВ). Сформированный кодером поток символов поступает в перемежитель. Во многих случаях ошибка в одном символе кода влечет за собой ошибки и в других смежных с ним символах той же последовательности, вызывая появление пакета ошибок на входе декодера, исправляющего ошибки. Если код рассчитан на исправление m ошибок на интервале из n смежных символов, а пакет ошибок вызывает больше чем m ложных символов, ошибка декодером не будет исправлена. Перемежитель разносит во времени смежные символы исходной кодовой последовательности более чем на n символов. При деперемежении на стороне приема разнесенные символы вновь собирают вместе; одновременно ошибки в пакете будут разнесены деперемежителем во времени более чем на n символов, и соответствующий деперемежителю декодер такие разнесенные ошибки сможет исправить. Перемеженная последовательность кодированных символов поступает в общем случае в несколько ветвей разнесения, каждая из которых содержит модулятор, передатчик, линию связи и приемник. В системах с линиями радиосвязи для борьбы с замираниями и узкополосными помехами, действующими в части частотного диапазона, применяют программную (или, как ее иногда называют, псевдослучайную) перестройку рабочих частот (ППРЧ), соответствующие устройства входят в состав передатчика и приемника.

Сложение сигналов в разнесенных ветвях на стороне приема может производиться как на входе демодулятора (додетекторное сложение), так и на его выходе (последетекторное сложение). В частности, если сигналы в ветвях некогерентны, последетекторное сложение называют квадратичным. Сравнительно недавно в системах связи с кодированными сигналами стали применять логическое объединение ветвей разнесения, реализующее последетекторный автовыбор ветви с наименьшим числом ошибок. Демодулятор (Д) производит оптимальную обработку элемента сигнала, заканчивающуюся обычно интегрированием со сбросом интегратора в определенный тактовый момент времени. Тем самым демодулятор дискретизирует во времени смесь огибающей сигнала с шумом. Формирование тактовых импульсов осуществляют устройства тактовой синхронизации, входящие в состав демодулятора. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) на выходе демодулятора дискретизирует (квантует) смесь огибающей сигнала с шумом по уровню. При квантовании на два уровня декодируется двоичный сигнал. Максимальное число уровней квантования, как правило, не превышает 16. Обычно число уровней равно 2, 4, 8 или 16. Декодер, работающий с двоичным сигналом, называют жестким, с недвоичным - мягким. Для работы декодера необходимы специфические (групповые) тактовые импульсы, формируемые в тракте групповой синхронизации, входящем в состав декодера. Назначение декодера состоит в уменьшении числа ошибок в сообщениях, выдаваемых системой связи, путем использования избыточности, заложенной в символьный поток кодером. Часть системы связи, включающая линию (радио- или проводную), называется каналом. Часть системы от выхода модулятора до входа АЦП образует канал передачи-приема сигнала, непрерывного по уровню (но дискретного по времени). Часть системы от выхода модулятора до выхода АЦП образует канал с входным сигналом, непрерывным по уровню и времени, и с выходным дискретным сигналом. От входа модулятора до выхода АЦП имеем дискретный (по времени и уровню) канал. В двунаправленной системе связи обычно создают канал обратной связи, по которому осуществляют управление работой системы.

Схема на рис. 1.1 может видоизменяться в зависимости от конкретной реализации системы связи. В каналах действуют искажения сигналов, шумы, помехи, которые в дискретном канале проявляются в виде перехода одного значения символа в другое - ложное (событие, состоящее в появлении ошибки) или неиспользуемое (событие, которое называют стиранием). В зависимости от характера ошибок различают дискретные каналы: симметричный (все ложные значения символов равновероятны), асимметричный (некоторые ложные значения символов обладают большей вероятностью), без памяти (искажение символа не зависит статистически от искажения другого выходного символа), с памятью (искажение символа выходной последовательности зависит статистически от искажения другого символа той же последовательности), со стираниями (наряду с ошибками имеют место стирания символов).

Любой канал связи с ограниченными полосой частот, временем передачи и динамическим диапазоном (значений амплитуд) обладает конечной пропускной способностью. Теоретически пропускная способность - это максимальное число переданных двоичных единиц (бит) в единицу времени при сколь угодно малой вероятности ошибок. Реально получаемое число передаваемых бит в единицу времени называют скоростью передачи. При неограниченно малой вероятности ошибок скорость передачи всегда меньше пропускной способности. В канале с ошибками максимальное значение скорости получают путем использования помехоустойчивого кодирования. Последнее требует введения избыточности в передаваемый сигнал: по времени, частоте или амплитуде. Если код согласован с каналом, т. е. код позволяет исправлять наиболее вероятные ошибки, введенная избыточность становится оправданной. Если код не согласован с каналом, ошибки могут быть не только не исправлены, но и размножены кодом. В этом случае применение помехоустойчивого кодирования принесет не пользу, а вред. Для согласования кода с каналом связи необходимо иметь максимальный объем сведений о возможных мешающих влияниях в каналах.

Рис. 1.2 -- Классификация помехоустойчивых кодов

К настоящему времени разработано иного различных помехоустойчивых кодов, отличающихся друг от друга основанием, расстоянием, избыточностью, структурой, функциональным назначением, энергетической эффективностью, корреляционными свойствами, алгоритмами кодирования и декодирования, формой частотного спектра. На рис 1.2 приведены типы кодов, различающиеся по особенностям структуры, функциональному назначению, физическим свойствам кода как сигнала. Наиболее важный подкласс непрерывных кодов образуют сверточные коды, отличающиеся от других непрерывных кодов методом построения и более широкой областью применения. В общем случае чем длиннее код при фиксированной избыточности, тем больше расстояние и тем выше помехоустойчивость кода. Однако длинные коды сложно реализуются. Составные коды дают компромиссное решение задачи, из них основное значение имеют каскадные коды и коды произведения. Как правило, каскадный код состоит из двух ступеней (каскадов): внутренней и внешней. По линии связи сигналы передают внутренним кодом nвт, символьные слова которого являются символами внешнего кода длины nвш. Основание внешнего кода равно qвтk. Коды произведения строят в виде матрицы, в которой строки суть слова одного кода, а столбцы - того же или другого кода. При формировании каскадного кода входную информационную последовательность символов разбивают на блоки по kвт символов в каждом, каждый блок сопоставляют с информационным символом внешнего кода из алфавита, содержащего qвтk значений символов. Затем kвш информационных символов внешнего кода преобразуют в блоки из nвш символов внешнего кода и, наконец, блоки из kвт информационных символов внутреннего кода преобразуют в блоки из nвт символов внутреннего кода. Возможны различные варианты: внешний и внутренний коды - блочные, внешний блочный - внутренний сверточный, внешний сверточный - внутренний блочный, внешний и внутренний сверточные.

Один из наиболее распространенных методов формирования кода произведения заключается в последовательной записи по k1 символов входной информационной последовательности в k2 строк матрицы (например, в ячейки памяти ОЗУ), добавлении избыточных символов по n1-k1 в каждую строку и по n2-k2 в каждый столбец, после чего в последовательность символов кода считывают по строкам или столбцам из матрицы. Физическим аналогом кода произведения является, в частности, частотно-временной код, у которого строки располагаются вдоль оси времени, а столбцы - по оси частот.

Параметры составных кодов: каскадных - n=nвшnвт, k=kвшkвт, d=dвшdвт; произведения - n=n1n2, k=k1k2, d=d1d2. Производные коды строят на основе некоторого исходного кода, к которому либо добавляют символы, увеличивая расстояние (расширенный код), либо сокращают часть информационных символов без изменения расстояния (укороченный код), либо выбрасывают (выкалывают) некоторые символы (выколотый, или перфорированный код). Код Хэмминга дает пример процедуры расширения, увеличивающей расстояние кода с 3 до 4. Необходимость в выкалывании возникает в результате построения на основе исходного кода другого, менее мощного, более короткого кода с тем же расстоянием. При более широкой трактовке термина "производный код" к этому классу можно отнести все коды, полученные из исходного добавлением или исключением как символов, так и слов.

Формально деление кодов на двоичные и недвоичные носит искусственный характер; по аналогии следует выделять троичные, четверичные и другие коды большего основания. Оправдывается такое деление усложнением алгоритмов построения, кодирования и декодирования недвоичных кодов. При прочих равных условиях желательно, чтобы информационные и избыточные символы располагались отдельно. В систематических кодах это условие выполняется. В циклических кодах каждое слово содержит все свои циклические перестановки. Все n циклических перестановок (слова длины n) образуют цикл. В квазициклических кодах цикл образуется на числе символов n-1 или, реже, n 2. Циклические коды важны как с точки зрения математического описания, так и для построения и реализации кода.

Ошибки в каналах связи имеют самое различное распределение, однако для выбора помехоустойчивого кода целесообразно разделить все возможные конфигурации ошибок на независимые (некоррелированные) и пакеты (коррелированные ошибки). На практике приходится учитывать качество интервалов между пакетами: они могут быть свободными от ошибок или же содержать случайные независимые ошибки. Под корреляционными подразумевают коды, обладающие хорошими корреляционными свойствами, важными при передаче сигналов вхождения в связь, для повышения защищенности от некоторых видов помех, извлечения сигналов из интенсивных шумов, обеспечения многостанционного доступа, построения асинхронно-адресных систем связи. Корреляционные коды включают в себя пары противоположных сигналов с хорошей функцией автокорреляции (метод внутриимпульсной модуляции), импульсно-интервальные коды, имеющие на фиксированном интервале времени постоянное для всех слов кода число импульсов с неперекрывающимися (при любом взаимном сдвиге слов во времени) значениями интервалов между импульсами, ансамбли сигналов с хорошими взаимокорреляционными свойствами.

Особый класс образуют частотно-компактные коды, предназначенные для сосредоточения энергии сигнала в возможно более узкой полосе частот. Столь общая постановка задачи понимается в различных системах связи по-разному: в проводных линиях и линейных трактах, содержащих полосно-ограничивающие фильтры с крутыми фронтами, необходимо основную энергию сигналa "отодвинуть" от крайних частот к центру полосы пропускания целью уменьшения межсимвольных искажений; в сетях радиосвязи с жесткими ограничениями по электромагнитной совместимости радиосредств от кода требуется значительно (на десятки децибел) уменьшить уровень внеполосных излучений. Построение кодирование и декодирование частотно-компактных кодов существенно зависят от метода модуляции.

Арифметические коды служат для борьбы с ошибками при выполнении арифметических операций в процессоре ЭВМ.

Также выделены еще два типа кодов: блоковые и древовидные. Определяющее различие между кодерами для кодов этих двух типов состоит в наличии или отсутствии памяти. Кодер для блокового кода является устройством без памяти, отображающим последовательности из k входных символов в последовательности из n выходных символов. Термин "без памяти" указывает, что каждый блок из n символов зависит только от соответствующего блока из k символов и не зависит от других блоков. Это не означает, что кодер не содержит элементов памяти. Важными параметрами блокового кода являются n, k, R=k/n и dmin. На практике значения k лежат между 3 и несколькими сотнями, a R= =1/4 ...7/8. Значения, лежащие вне этих пределов, являются возможными, но часто приводят к некоторым практическим трудностям. Входные и выходные последовательности обычно состоят из двоичных символов, но иногда могут состоять из элементов некоторого алфавита большего объема. Кодер для древовидного кода является устройством с памятью, в которое поступают наборы из m двоичных входных символов, а на выходе появляются наборы из n двоичных выходных символов. Каждый набор n выходных символов зависит от текущего входного набора и от v предыдущих входных символов. Таким образом, память кодера должна содержать v+m входных символов. Параметр v+m часто называют длиной кодового ограничения данного кода и обозначают k=v+m (не следует путать с параметром k для блокового кода). Длиной кодового ограничения будем называть величину v. Типичные значения параметров древовидных кодов таковы: m, n=1...8, R= 1/4... 7/8, v=2...60.

При другом подходе коды можно разделить на линейные и нелинейные. Линейные коды образуют векторное пространство и обладают следующим важным свойством: два кодовых слова можно сложить, используя подходящее определение суммы, и получить третье кодовое слово. В случае обычных двоичных кодов эта операция является посимвольным сложением двух кодовых слов по модулю 2 (т. е. 1+1=0, 1+0=1, 0+0=0). Это свойство приводит к двум важным следствиям. Первое из них состоит в том, что линейность существенно упрощает процедуры кодирования и декодирования, позволяя выразить каждое кодовое слово в виде "линейной" комбинации небольшого числа выделенных кодовых слов, так называемых базисных векторов. Второе свойство состоит в том, что линейность существенно упрощает задачу вычисления параметров кода, поскольку расстояние между двумя кодовыми словами при этом эквивалентно расстоянию между кодовым словом, состоящим целиком из нулей, и некоторым другим кодовым словом. Таким образом, при вычислении параметров линейного кода достаточно рассмотреть, что происходит при передаче кодового слова, состоящего целиком из нулей. Вычисление параметров упрощается еще и потому, что расстояние Хемминга между данным кодовым словом и нулевым кодовым словом равно числу ненулевых элементов данного кoдового слова. Это число часто называют весом Хемминга данного слова, и список, содержащий число кодовых слов каждого веса, можно использовать для вычисления характеристик кода с помощью аддитивной границы. Такой список называют спектром кода. Линейные коды отличаются от нелинейных замкнутостью кодового множества относительно некоторого линейного оператора, например сложения или умножения слов кода, рассматриваемых как векторы пространства, состоящего из кодовых слов - векторов. Линейность кода упрощает его построение и реализацию. При большой длине практически могут быть использованы только линейные коды. Вместе с тем часто нелинейные коды обладают лучшими параметрами по сравнению с линейными. Для относительно коротких кодов сложность построения и реализации линейных и нелинейных кодов примерно одинакова. Как линейные, так и нелинейные коды образуют обширные классы, содержащие много различных конкретных видов помехоустойчивых кодов. Среди линейных блочных наибольшее значение имеют коды с одной проверкой на четность, M-коды (симплексные), ортогональные, биортогональные, Хэмминга, Боуза-Чоудхури-Хоквингема, Голея, квадратично-вычетные (KB), Рида-Соломона. К нелинейным относят коды с контрольной суммой, инверсные, Нордстрома-Робинсона (HP), с постоянным весом, перестановочные с повторением и без повторения символов (полные коды ортогональных таблиц, проективных групп, групп Матье и других групп перестановок). Почти все схемы кодирования, применяемые на практике, основаны на линейных кодах. Двойные линейные блоковые коды часто называют групповыми кодами, поскольку кодовые слова образуют математическую структуру, называемую группой. Линейные древовидные коды обычно называют сверточными кодами, поскольку операцию кодирования можно рассматривать как дискретную свертку входной последовательности с импульсным откликом кодера.

Наконец, коды можно разбить на коды, исправляющие случайные ошибки, и коды, исправляющие пакеты ошибок. В основном будем иметь дело с кодами, предназначенными для исправления случайных, или независимых, ошибок. Для исправления пакетов ошибок было создано много кодов, имеющих хорошие параметры. Однако при наличии пачек ошибок часто оказывается более выгодным использовать коды, исправляющие случайные ошибки, вместе с устройством перемежения восстановления. Такой подход включает в себя процедуру перемешивания порядка символов в закодированной последовательности перед передачей и восстановлением исходного порядка символов после приема с тем, чтобы рандомизировать ошибки, объединенные в пакеты.

1.1 Проверка чётности

Контроль четности или коррекция ошибок (ECC (код исправления ошибок)) используется в основном только в жизненно важных компьютерных системах, где недопустима даже одна ошибка в несколько десятилетий. Проверка четности - довольно простой метод обнаружения ошибок памяти, без возможности восстановления. Каждый байт данных связан с одним битом четности или так называемым паритетным битом. Этот бит устанавливается во время записи, и затем рассчитывается и сравнивается во время чтения. Изменение состояния этого бита говорит о возникшей ошибке. Этот метод ограничен определением изменения состояния одиночного бита в байте. В случае изменения состояния двух битов, возможна ситуация, когда вычисление паритетного бита совпадет с записанным. В этом случае система не определит ошибку, и произойдет экстренная остановка системы. Так как приблизительно 90% всех нерегулярных ошибок происходит именно с одиночным разрядом, проверки четности бывает достаточно для большинства ситуаций. К сожалению необходимость в дополнительных вычислениях паритетного бита требует некоторых затрат процессорного времени, что несколько снижает производительность всей системы. Более интересным методом проверки ошибок работы памяти является т.н. ECC или коррекция ошибок или код исправления ошибок. Этот метод включает определение ошибки не только в одиночном разряде, но и двух, трех и четырех разрядах. Кроме того ECC может также исправлять ошибку в одиночном разряде. ECC может быть реализован или на модуле памяти (ECC - on - Simm, или EOS) или в чипсете. Однако модули EOS встречаются крайне редко. ECC основывается на алгоритме «хешинга», который работает одновременно с 8 байтами (64 бита), и размещает результат в 8-ми разрядное ECC слово. Во время считывания результат ECC слова сравнивается с рассчитанным, подобно тому, как происходит в методе проверки четности. Основное различие состоит в том, что в проверке четности каждый бит связан с одним байтом, в то время как ECC слово связана со всеми 8 байтами. Это означает, что разрядные значения для ECC не будут теми же, что и индивидуальные биты для проверки четности для тех же восьми байтов, поэтому модули ECC не могут использоваться в режиме четности (однако, паритетные модули, могут использоваться в режиме ECC, как описано ниже). ECC модули могут использоваться на не паритетный и на ECC/ non-ECC платах. Модуль ECC не может использоваться в режиме проверки четности. Причина этого является схемотехническая реализация модуля ECC. Он не может устанавливать отдельные биты, поэтому чипсет не будет записывать правильные данные в ECC слово.

1.2 Код CRC

Методы обнаружения ошибок предназначены для выявления повреждений со общений при их передаче по зашумленным каналам (вносящих эти ошибки). Для этого передающее устройство создает некоторое число, называемое контрольной суммой и являющееся функцией сообщения, и добавляет его к этому сообщению. Приемное устройство, используя тот же самый алгоритм, рассчитывает контрольную сумму принятого сообщения и сравнивает ее с переданным значением. Например, если для расчета контрольной суммы используем простое сложение байтов сообщения по модулю 256, то может возникнуть примерно следующая ситуация. (Все числа примера десятичные.)

Сообщение: 6 23 4

Сообщение с контрольной суммой: 6 23 4 33

Сообщение после передачи: 6 27 4 33

Как видно, второй байт сообщения при передаче оказался измененным с 23 на 27. Приемник может обнаружить ошибку, сравнивая переданную контрольную сумму (33) с рассчитанной им самим: 6 + 27 + 4 = 37. Если при правильной передаче сообщения окажется поврежденной сама контрольная сумма, то такое сообщение будет неверно интерпретировано, как искаженное. Однако, это не самая плохая ситуация. Более опасно, одновременное повреждение сообщения и контрольной суммы таким образом, что все сообщение можно посчитать достоверным. К сожалению, исключить такую ситуацию невозможно, и лучшее, чего можно добиться, это снизить вероятность ее появления, увеличивая количество информации в контрольной сумме (например, расширив ее с одного до 2 байт).

Ошибки иного рода возникают при сложных преобразованиях сообщения для удаления из него избыточной информации. Однако, данная статья посвящена только расчетам CRC, которые относятся к классу алгоритмов, не затрагивающих само го сообщения и лишь добавляющих в его конце контрольную сумму:

<исходное неизмененное сообщение> <контрольная сумма>

Требования сложности

Выше показано, что повреждение сообщения может быть обнаружено, используя в качестве алгоритма контроля простое суммирование байтов сообщения по модулю 256:

Сообщение: 6 23 4

Сообщение с контрольной суммой: 6 23 4 33

Сообщение после передачи: 6 27 4 33

Недостаток этого алгоритма в том, что он слишком прост. Если произойдет несколько искажений, то в 1 случае из 256 не сможем их обнаружить. Например:

Сообщение: 6 23 4

Сообщение с контрольной суммой: 6 23 4 33

Сообщение после передачи: 8 20 5 33

Для повышения надежности можно было бы изменить размер регистра с 8 битного на 16 битный (то есть суммировать по модулю 65536 вместо модуля 256), что скорее всего снизит вероятность ошибки с 1/256 до 1/65536. Хотя это и неплохая идея, однако, она имеет тот недостаток, что применяемая формула расчета не "случайна" в должной степени -- каждый суммируемый байт оказывает влияние лишь на один байт суммирующего регистра, при этом ширина самого регистра не имеет никакого значения. Например, во втором случае суммирующий регистр мог бы иметь ширину хоть мегабайт, однако ошибка все равно не была бы обнаружена. Проблема может быть решена лишь заменой простого суммирования более сложной функцией, чтобы каждый новый байт оказывал влияние на весь регистр контрольной суммы.

Таким образом, сформулировано 2 требования для формирования надежной контрольной суммы:

Ширина: Размер регистра для вычислений должен обеспечивать изначальную низкую вероятность ошибки (например, 32 байтный регистр обеспечивает вероятность ошибки 1/232).

Случайность: Необходим такой алгоритм расчета, когда каждый новый байт может оказать влияние на любые биты регистра.

Обратим внимание, что термин "контрольная сумма" изначально описывал достаточно простые суммирующие алгоритмы, однако, в настоящее время он используется в более широком смысле для обозначения сложных алгоритмов рас чета, таких как CRC. Алгоритмы CRC, которые и будем рассматривать в дальнейшем, очень хорошо удовлетворяют второму условию и, кроме того, могут быть адаптированы для работы с различной шириной контрольной суммы.

Контрольная сумма (Checksum) - Число, которое является функцией некоторого сообщения. Буквальная интерпретация данного слова указывает на то, что выполняется простое суммирование байтов сообщения, что, по видимому, и делалось в ран них реализациях расчетов. Однако, на сегодняшний момент, несмотря на использование более сложных схем, данный термин все имеет широкое применение.

Если сложение, очевидно, не пригодно для формирования эффективной контрольной суммы, то таким действием вполне может оказаться деление при условии, что делитель имеет ширину регистра контрольной суммы.

Основная идея алгоритма CRC состоит в представлении сообщения виде огромного двоичного числа, делении его на другое фиксированное двоичное число и использовании остатка этого деления в качестве контрольной суммы. Получив сообщение, приемник может выполнить аналогичное действие и сравнить полученный остаток с "контрольной суммой" (переданным остатком).

Пример:

Предположим, что сообщение состоит из 2 байт (6, 23), как и в предыдущем примере. Их можно рассматривать, как шестнадцатеричное число 0167h, или как двоичное число 0000 0110 0001 0111. Предположим, что ширина регистра контрольной суммы составляет 1 байт, а в качестве делителя используется 1001, тогда сама контрольная сумма будет равна остатку от деления 0000 0110 0001 0111 на 1001. Хотя в данной ситуации деление может быть выполнено с использованием стандартных 32 битных регистров, в общем случае это не верно. Поэтому воспользуемся делением "в столбик". Только на этот раз, оно будет выполняться в двоичной системе счисления:

...0000010101101 = 00AD = 173 =

----_---_---_---_

9= 1001 ) 0000011000010111 = 0617 = 1559 =

0000.,,....,.,,,

----.,,....,.,,,

0000,,....,.,,,

----,,....,.,,,

0001,....,.,,,

0000,....,.,,,

----,....,.,,,

0011....,.,,,

0000....,.,,,

----....,.,,,

0110...,.,,,

0000...,.,,,

----...,.,,,

1100..,.,,,

1001..,.,,,

====..,.,,,

0110.,.,,,

0000.,.,,,

----.,.,,,

1100,.,,,

1001,.,,,

====,.,,,

0111.,,,

0000.,,,

----.,,,

1110,,,

1001,,,

====,,,

1011,,

1001,,

====,,

0101,

0000,

----

1011

1001

====

0010 = 02 = 2

В десятичном виде это будет звучать так: "частное от деления 1559 на 9 равно 173 и 2 в остатке".

Хотя влияние каждого бита исходного сообщения на частное не столь существенно, однако 4 битный остаток во время вычислений может радикально измениться, и чем больше байтов имеется в исходной сообщении (в делимом), тем сильнее меняется каждый раз величина остатка. Вот почему деление оказывается применимым там, где обычное сложение работать отказывается.

В нашем случае передача сообщения вместе с 4 битной контрольной суммой выглядела бы (в шестнадцатеричном виде) следующим образом: 06172, где 0617 - это само сообщение, а 2 - контрольная сумма. Приемник, получив сообщение, мог бы выполнить аналогичное деление и проверить, равен ли остаток переданному значению (2).

Хотя арифметическое деление, описанное выше, очень похоже на схему расчета контрольной суммы, называемой CRC, сам же алгоритм CRC несколько более сложен, и, чтобы понять его, необходимо окунуться в теорию целых чисел.

Полином (Polynomial) - Полином является делителем CRC алгоритма.

Все CRC алгоритмы основаны на полиномиальных вычислениях, и для любого алгоритма CRC можно указать, какой полином он использует.

Вместо представления делителя, делимого (сообщения), частного и остатка в виде положительных целых чисел можно представить их в виде полиномов с двоичными коэффициентами или в виде строки бит, каждый из которых является коэффициентом полинома. Например, десятичное число 23 в шестнадцатеричной системе счисления имеет вид 17, а в двоичном - 10111, что совпадает с полиномом:

1*x^4 + 0*x^3 + 1*x^2 + 1*x^1 + 1*x^0

или, упрощенно:

x^4 + x^2 + x^1 + x^0

И сообщение, и делитель могут быть представлены в виде полиномов, с которыми как и раньше можно выполнять любые арифметические действия. Предположим, что хотим перемножить, например, 1101 и 1011. Это можно выполнить, как умножение полиномов:

(x^3 + x^2 + x^0)(x^3 + x^1 + x^0)

= (x^6 + x^4 + x^3

+ x^5 + x^3 + x^2

+ x^3 + x^1 + x^0) = x^6 + x^5 + x^4 + 3*x^3 + x^2 + x^1 + x^0

Теперь для получения правильного ответа необходимо указать, что Х равен 2, и выполнить перенос бита от члена 3*x^3.

В результате получим:

x^7 + x^3 + x^2 + x^1 + x^0

Все это очень похоже на обычную арифметику, с той лишь разницей, что основание у нас лишь предполагается, а не строго задано. Если "X" неизвестен, то не можем выполнить перенос. Неизвестно, что 3*x^3 - это то же самое, что и x^4 + x^3, так как не знаем, что X=2. В полиномиальной арифметике связи между коэффициентами не установлены, и, поэтому, коэффициенты при каждом члене полинома становятся строго типизированными -- коэффициент при x^2 имеет иной тип, чем при x^3.

Если коэффициенты каждого члена полинома совершенно изолированы друг от друга, то можно работать с любыми видами полиномиальной арифметики, просто меняя правила, по которым коэффициенты работают. Одна из таких схем для нас чрезвычайно интересна, а именно, когда коэффициенты складываются по модулю 2 без переноса - то есть коэффициенты могут иметь значения лишь 0 или 1, перенос не учитывается. Это называется "полиномиальная арифметика по модулю 2".

Возвращаясь к предыдущему примеру:

(x^3 + x^2 + x^0)(x^3 + x^1 + x^0)

= (x^6 + x^4 + x^3

+ x^5 + x^3 + x^2

+ x^3 + x^1 + x^0)

= x^6 + x^5 + x^4 + 3*x^3 + x^2 + x^1 + x^0

По правилам обычной арифметики, коэффициент члена 3*x^3 распределяется по другим членам полинома, используя механизм переноса и предполагая, что X = 2. В "полиномиальной арифметике по модулю 2" не известно, чему равен "X", переносов здесь не существует, а все коэффициенты рассчитываются по модулю 2. В результате получаем:

Страницы: 1, 2