Из курса теоретической механики известно, что в соответствии с принципом Даламбера неустановившееся движение тела описывается вторым законом Ньютона. Поскольку в данной задаче рассчитывается движение лишь в направлении одной из осей координат, то достаточно записать уравнения движения в проекции на ось Х и решать его относительно скорости V и пройденного по этой координате пути S.

1.2 Физическая и математическая модели неустановившегося движения судна

Основным уравнением задачи в этом случае является уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось координат X.

ma = F (1)

Здесь:

m - масса тела (судна);

а = dV/dt - ускорение тела;

F - сумма всех сил, действующих на судно, в проекции на ось X.

Равнодействующая сила F складывается из двух сил:

R - сопротивление движению судна;

Т - тяга движения (как правило, гребного винта).

Из физических соображений понятно, что сопротивление R зависит от скорости движения (чем больше скорость V, тем больше сопротивление R) и направлена против скорости V, т.е. в отрицательном направлении оси X. Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости судна, но действует в противоположном направлении силе сопротивления R, т.е. направлена в положительном направлении оси X. Во время стоянки судна V=0 b R(V)=0.

Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости движения судна, но действует в противоположном силе сопротивления R направлении, т.е. направлена противоположном направлении оси Х.
С учетом сказанного, уравнение (1) можно записать в виде:

(2)

Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно скорости движения судна V.

Для определения пройденного за время "разгона" пути S к этому уравнению (2) необходимо добавить уравнение dS/dt=V, являющееся определением понятия - "скорость". Математическая модель задачи записывается в виде системы из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в каноническом виде:

(3)

Здесь функции R(V) и T(V) являются заданными и находятся по испытаниям моделей судна и гребного винта. Как правило, эти функции задаются либо графически, либо таблично.

Для решения системы уравнений (3) необходимо задать начальные условия. Обычно они задаются в виде t=0 или V=Vn.

2. Методика и алгоритмы решения задачи

2.1 Формирование функций исходных данных

В курсовой работе исходными данными являются функции R(V) и T(V), которые представлены в графическом виде. Решением данной задачи является снятие контрольных точек с графиков (R(V) - 16-20 точек и T(V) - 8-10 точек) включая первую и последнюю и заполнение таблиц исходных данных (расчёты производятся в системе СИ).

2.2 Аппроксимация исходных данных

По сформированным таблицам этих функций необходимо:

Ш выбрать класс аппроксимирующей функции (если выбран полином, то необходимо выбрать его степень исходя из вида кривой по характерным точкам, выбранным из контрольных);

Ш определить коэффициент аппроксимации;

Ш рассчитать и вывести на дисплей графики аппроксимирующих функций.

Модельная задача №1. Линейная аппроксимация исходных функций R(V) и T(V) на всём участке по первой и последней точкам.

Модельная задача №2. Кусочно-линейная аппроксимация исходных функций R(V) (3 участка) и функции T(V) (2 участка).

Модельная задача №3. Кусочо-нелинейная аппроксимация исходных функций R(V) (не менее 3 участков) и T(V) на всём участке. Подобрать оптимальный вариант аппроксимирующих функций с учётом неразрывности функции на границах участков.

2.3 Эталонное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений

Для отладки программы решения общей (при произвольных R(V) и T(V)) системы (3) целесообразно задать эти функции в виде полиномов 1-й степени.

(4)

Здесь коэффициенты аппроксимации находятся по методу интерполяции по первой и последней точкам.

Подставляя соотношения (4) в систему (3) получим:

или (5)

где F0=T0-R0, F1=T1-R1.

Это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

(6)

Решение этого уравнения:

Здесь начальные условия входят в пределы интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем:

Потенцируя, получаем:

Это и есть точное решение уравнения (6). При t=0 имеем V=VH, то есть начальное условие выполнено автоматически. При разгоне коэффициент F1<0 и при получаем:

при F1<0 и при (7)

При отладке программы в общем случае получаемое численное решение с линейными аппроксимациями T(V) и R(V) сравнивается с точным для проверки правильности алгоритма решения. На этом этапе расчёта строится график зависимости V=V(t) и график численного решения уравнения (6). Он совпадают с заданной точностью.

2.4 Вычисление кинетической энергии

Для расчёта кинетической энергии затрачиваемой на разгон судна используется известное соотношение

Такой же расчёт необходимо произвести для задачи торможения.

Вычисление интеграла производится одним из численных методов на основании результатов, полученных в третьей модельной задаче.

Контрольные точки с графиков

	V	R(V)	T(V)
	км/ч	м/с	кг	Н	кг	Н
1	0	0	0	0	1950	19110
2	4	1,1112	20	196	1940	19012
3	8	2,2224	100	980	1915	18767
4	12	3,3336	260	2548	1900	18620
5	16	4,4448	590	5782	1885	18473
6	20	5,556	1060	10388	1860	18228
7	24	6,6672	1340	13132	1820	17836
8	28	7,7784	1460	14308	1795	17591
9	30	8,334	1490	14602	1780	17444
10	32	8,8896	1500	14700	1730	16954
11	34	9,4452	1490	14602	1705	16709
12	36	10,0008	1475	14455	1690	16562
13	40	11,112	1390	13622	1610	15778
14	44	12,2232	1295	12691	1540	15092
15	48	13,3344	1195	11711	1460	14308
16	52	14,4456	1090	10682	1380	13524
17	56	15,5568	1010	9898	1285	12593
18	60	16,668	1005	9849	1185	11613
19	65	18,057	1060	10388	1060	10388
20	70	19,446	1190	11662	960	9408

3. Первая модельная задача

Нахождение корня шаговым методом:

V	F(V)
37,5	400,5
37,75	275,77
38	151,04
38,25	26,31
38,5	-98,42

Уточнение корня методом Ньютона:

		e=	0,001
Метод Ньютона
V	F(V)	F'(V)	\|F(V)<=e
38,25	26,31	-498,92
38,302734	0	-498,92	скорость!

Время разгона: метод Симпсона (парабол)

V	F(V)	V	F(V)
0	0,758765	7	0,9284421
4	0,8472437	15	1,2471831
12	1,1049336	25	2,184722
20	1,5878926	35	8,7996116
30	3,5003862	45	-4,3394984
40	-17,12329
Sum1=	7,0404562	Sum2=	8,8204604
	t_разгона=	50,29

Время торможения: метод Симпсона (парабол)

38,5	-0,754877	36	-0,8072993
33,5	-0,867546	31	-0,9375089
28	-1,037956	25,5	-1,1397167
23	-1,263599	20,5	-1,4176964
18	-1,614599	15,5	-1,8750178
13	-2,235598	10,5	-2,7678834
8	-3,632847	6	-4,8437959
5	-5,812555	4	-7,2656939
3	-9,687592	2	-14,531388
1	-29,06278	0,5	-58,125551
Sum1=	-55,21507	Sum2=	-35,586
t_торможения=	73,75825

Энергия разгона судна:

V(t)	V(t)^2
3,8	14,44
7,6	57,76
11,4	129,96
15,2	231,04
19	361
22,8	519,84
26,6	707,56
30,4	924,16
34,2	1169,64
38	1444
E_разгона=	40305650	[Дж]

4. Вторая модельная задача

Нахождение корня шаговым методом:

V	F(V)
77	67
77,11	47,42
77,22	27,84
77,33	8,26
77,44	-11,32

Уточнение корня:

		e=	0,001
Метод Ньютона
V	F(V)	F'(V)	\|F(V)<=e
77,33	8,26	-178
77,376404	0	-178	скорость!

5. Третья модельная задача

Нахождение корня:

V	F(V)
28	197,3728
28,11	67,90212
28,22	-61,82168
28,33	-191,7965
28,44	-322,0201

6.Сводная таблица результатов и выводы

Таблица полученных результатов:

Реализация	Vст	Разгон	Торможение
		T, c	S, м	E, МДж	T, c	S, м
Модельная задача №1	MathCAD	14,964	2,165	2,118	0,5	12,892	4,525
	Visual C++	15,33	2,16	x	0,14	3,56	x
Модельная задача №2	MathCAD	18,1	2,714	1,386	0,237	21,025	3,317
	Visual C++	18,25	1,64	x	x	x	x
Модельная задача №3	MathCAD	11,078	1,825	-9,714	13,44	11,679	-15,637
	Visual C++	11,31	1,87	x	18,28	3,63	x

Вывод: результаты вычислений могут меняться в зависимости от метода и программы, которыми мы считаем. Причем некоторые методы не дадут нам вовсе правильного результата.