Сигнал - физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.

1. Классификация сигналов

Сигналы можно классифицировать по различным признакам:

1. Непрерывные (аналоговые) - сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т.е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные - описываются дискретными функциями времени т.е. принимают конечное множество значений на интервале определения.

Детерминированные - сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т.е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные - описываются случайными функциями времени, т.е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т.д.

3. Периодические - сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду

х (t) = х (t+nT), где n = 1,2,...,; T - период.

4. Kаузальные - сигналы, имеющие начало во времени.

5. Финитные - сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.

6. Когерентные - сигналы, совпадающие во всех точках определения.

7. Ортогональные - сигналы противоположные когерентным.

2. Характеристики сигналов

1. Длительность сигнала (время передачи) Тс - интервал времени, в течении которого существует сигнал.

2. Ширина спектра Fc - диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.

3. База сигнала - произведение ширины спектра сигнала на его длительность.

4. Динамический диапазон Dc - логарифм отношения максимальной мощности сигнала - Pmax к минимальной - Pmin (минимально-различи-мая на уровне помех):

Dc = log (Pmax/Pmin).

В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.

Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный - [Бел], натуральный - [Непер]).

5. Объем сигнала определяется соотношением Vc = TcFcDc.

6. Энергетические характеристики: мгновенная мощность - P (t); средняя мощность - Pср и энергия - E. Эти характеристики определяются соотношениями:

P (t) = x2 (t); ; (1)

где T = tmax-tmin.

3. Математические модели случайных сигнлов
Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер [11].

Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.

Случайный процесс Х (t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени xi (t), называемых реализациями или выборками (см. рис.1).

Рис.1. Реализации случайного процесса X (t)

Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: Fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn), или плотность вероятности fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn).

Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями,поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f1 (x, t), характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f2 (x1, x2; t1, t2), характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)

; (2)

средний квадрат (начальный момент второго порядка)

; (3)

дисперсия (центральный момент второго порядка)

; (4)

корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса

. (5)

При этом справедливо следующее соотношение:

(6)

Стационарные процессы - процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.

Эргодические процессы - процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.

Гауссовы процессы - процессы с нормальным законом распределения:

(7)

Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.

В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.

Марковский процесс - случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.

4. Формы аналитического описания сигналов

Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).

Преобразование Лапласа:

L: L-1: (8)

Преобразования Фурье:

F: F-1: (9)

L-1:

F-1 : p=j

F: j=p

Рис.2 Области представления сигналов

При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т.д.

При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области - спектральная теория случайных процессов.

С учетом четности функций и и в соответствии с формулами Эйлера:

(10)

можно записать выражения для корреляционной функции Rx () и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса Sx (), которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера - Хинчина

; (11)

. (12)

5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик

Любые n - чисел можно представить в виде точки (вектора) в n -мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D,

где . (13)

Сигнал длительностью Tс и шириной спектра Fс, в соответствии с теоремой Котельникова определяется N отсчетами, где N = 2Fc Tc.

Этот сигнал может быть представлен точкой в n - мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат [5].

Длина этого вектора (норма) равна:

; (14)

где xi = x (nt) - значение сигнала в момент времени t = n. t.

Допустим: X - передаваемое сообщение, а Y - принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).

X2 ,Y2

x2 X

y2 Y

X1 , Y1

0 1 2 x1 y1

Рис.3. Геометрическое представление сигналов

Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X и Y можно записать

cos = cos (1-2) = cos1 cos2 + sin1 sin2 =

= (15)

Для N - отсчетов:

cos (16)

Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).

Рис. 4. График сигнала

Рис.4. График сигнала

Средняя мощность сигнала

Энергия сигнала

Энергия кванта

Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле

При этом модуль сигнала равен

Взаимная корреляционная функция равна

При этом

Это нормированная корреляционная функция

Если = 90о, то xy () = 0 - сигналы ортогональны, т.е. независимы;

Если = 0, то xy () = 1 - передаваемый сигнал равен принятому;

Вектор d - характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:

По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.

Список литературы

1. Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

3. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А.М. Трахтмана. - М., "Сов. радио", 1973, 368 с.

4. Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.

5. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высш. шк., 1982.

6. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.

7. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

8. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.

9. Рудаков П. И, Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.

10. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.