Средства языка программирования Паскаль для решения математических задач

Средства языка программирования Паскаль для решения математических задач

12

Министерство образования РФ

Тульский государственный университет

Кафедра автоматики и телемеханики

Контрольно-курсовая работа

по курсу "информатика"

Вариант № 15

Выполнил:

студент группы 220611

Блинцов С. В.

Проверил:

ассистент кафедры АТМ

Середин О. С.

Тула 2001

Введение

В данной контрольно-курсовой работе требуется применить изученные средства языка программирования Паскаль для решения математических задач путем использования численных методов на компьютере.

Необходимо написать три программы, решающие поставленные задачи, используя предоставленные математические обоснования. Решение данных задач показывает возможности использования компьютера для различного рода прикладных вычислений.

В первой задаче требуется разработать алгоритм и его реализацию для нахождения интеграла функции, заданной графически. Ценность данной задачи заключается в том, что не для каждой функции значение интеграла можно найти аналитически. Однако с использованием предложенного численного метода, возможно, получить конкретное значение с достаточной требуемой точностью.

Во второй задаче необходимо составить алгоритм и реализацию данного алгоритма, который позволит напечатать таблицу значений функции, заданной в виде разложения в ряд. Без использования компьютера процесс вычисления значений такой функции занимает достаточно длительное время. Компьютер же дает возможность значительно ускорить этот процесс, что позволяет, например, проследить изменение значения функции на различных интервалах, т.е. при различных значениях аргумента.

В третьей задаче представлена работа с частным случаем многомерных массивов - матрицей. Использование матриц - весьма распространенное явление в программировании. Это, например, работа с преобразованием графики, моделирование трехмерных объектов. В математике матрицы также часто используются в различных задачах. Умение работать с ними - очень важно.

1. Вычисление значения интеграла функции,

заданной графически

Составить программу на языке Turbo Pascal 7.0 вычисления значения интеграла на интервале [a, b] для функции, заданной графически. Значение интеграла вычислить приближённо по итерационной формуле левых прямоугольников:

b

I = f (x)dx In = h(f1 + f2 +…+ fn-1),

a

где h=(b-a)/n - величина шага между двумя соседними точками разбиения интервала интегрирования; fi = f(xi) - значение функции в точке xi = a + h(i -1); i = 1, 2, …, n.

Вычисления закончить при выполнении условия |In - I2n| < , где >0 - достаточно малое значение, задаваемое пользователем (точность вычислений). Здесь In, I2n - значения интеграла, вычисленные по данной формуле при количестве разбиения на n и 2n соответственно.

Численные значения всех величин, участвующих в вычислениях, считать параметрами программы и определить их путём ввода.

График функции:

Пояснение к заданию:

Анализируя график функции можно сделать вывод, что для аналитического задания уравнения функции следует ее рассматривать на различных интервалах:

x <= -c y = kx + b

-c < x < =c y = Ln(c)

c < x y = lg(x),

где kx + b =, lg x= (ln(x))/(ln(10));

x - аргумент функции; y - её значение; c - параметр функции (c>0), вводимые пользователем с клавиатуры.

1.2 Математическая формулировка задачи.

Решение многих задач (например, определение пути при неравномерном движении, работы переменной силы, расходов воды в реках и каналах, площади поперечного сечения судна) находится с помощью определённого интеграла. Иногда для вычисления определённого интеграла от непрерывной на отрезке a; b функции f(x) можно просто воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

b

S = f(x) dx = F(b) - F(a),

a

где F(x) - первообразная для функции f(x) F(x)=f(x).

Однако воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница в большинстве ситуаций не представляется возможным.

В этом случае используются приближённые методы для вычисления определённого интеграла. Все они основаны на том, что геометрически интеграл функции f(x) в пределах от a до b представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью Ox и прямыми x = a, x = b. Рассмотрим один из этих методов.

Тогда алгоритм решения задачи заключается в следующем:

Сначала вычисляется значение интеграла при n разбиений отрезка интегрирования (Integral1). Затем число разбиений n увеличивается в 2 раза и вычисляется значение интеграла при новом числе разбиений (Integral2). После этого проверяется условие завершения работы (|Integral1 - Integral2|<) и, если работу следует продолжать, то текущее значение Integral2 присваивается значению Integral1, число разбиений n увеличивается в 2 раза, а значение Integral2 вычисляется заново и так далее, пока не будет выполнено условие |Integral1 - Integral2|<.

Теперь нерешённым остался только вопрос о выборе начального значения числа n. Очевидно, что этот вопрос нельзя разрешить однозначно и одинаково для всех видов функций. Это станет очевидно, если рассмотреть следующую ситуацию: пусть требуется найти определённый интеграл некоторой функции на отрезке, где она принимает некоторое одинаковое значение не менее 2-х раз, и при этом её интеграл не равен произведению этого значения на длину отрезка интегрирования. При некорректном выборе исходного значения n может получиться так, что при разбиении отрезка интегрирования на n и 2n в рассмотрение будут приняты только те точки, значения функции в которых совпадают. Но тогда вычисление интеграла закончатся, т.к. разница между найденными значениями (Integral1 - Integral2) будет равна нулю и, следовательно, явно меньше любой погрешности, значение которой всегда положительно. Но это недопустимо, т.к. реальное значение искомого интеграла может быть далеко от найденного. Поэтому, при рассмотрении каждой новой функции следует производить тщательный анализ и исключение подобных ситуаций. Таким образом, вопрос о выборе начального значения числа разбиений отрезка остается открытым.

Так как рассматриваемая в данной задаче функция не представляет особой сложности, то в предложенном далее алгоритме решения задачи начальное значение числа n будет взято равным единице.

1.4 Описание переменных.

1.5 Схема алгоритма.

1.6 Текст программы.

PROGRAM KKP2_1_DUB3;

USES CRT;

var

A, B, C, E, ABS_Integral:real;

PROCEDURE ENTER_DATA(VAR PR_1, PR_2, P_PAR,POGR_PRO:REAL);

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке');

Writeln;

writeln('Введите границы интервала [A,B],причем (A<B),число C (0<C<1) и точность E (E>0): ');

writeln;

REPEAT

BEGIN

writeln('Число C: '); readln(P_PAR);

if not (P_PAR>0) then

writeln ('C должно быть больше 0 !. Повторите ввод.')

ELSE IF NOT (P_PAR<1) THEN

WRITELN('C должно быть меньше 1!. Повторите ввод.');

END;

UNTIL ((P_PAR>0) AND (P_PAR<1));

REPEAT

BEGIN

writeln('Начало интервала A: '); readln(PR_1);

writeln('Конец интервала B: '); readln(PR_2);

if not (PR_1<PR_2) then

writeln ('A должно быть меньше B !. Повторите ввод.');

END;

UNTIL (PR_1<PR_2);

REPEAT

BEGIN

writeln('Точность E: '); readln(POGR_PRO);

if not (POGR_PRO>0) then

writeln ('E должно быть больше 0 !. Повторите ввод.');

END;

UNTIL (POGR_PRO>0);

END;

FUNCTION integration(VAR GR_1,GR_2,F_PAR,POGR_FUNC:REAL):real;

VAR

INTEGRAL1, INTEGRAL2, X, H:REAL;

N:INTEGER;

READY:BOOLEAN;

begin

integral1:=0;

integral2:=0;

n:=1;

REPEAT

N:=N*2;

H:=(GR_2-GR_1)/N;

X:=GR_1;

Integral2:=0;

repeat

if x<=(-F_PAR) then

integral2:=integral2+((1/sqr(3))*(ln(F_PAR)-F_PAR))

ELSE IF((-F_PAR<x) and (x<=F_PAR))

THEN integral2:=integral2+ln(F_PAR)

ELSE if (X>F_PAR) THEN

Integral2:=integral2+LN(X)/LN(10);

X:=X+H;

until not (X<=B);

READY:=abs(integral1-integral2)<POGR_FUNC;

INTEGRAL1:=INTEGRAL2;

UNTIL READY;

INTEGRATION:=INTEGRAL2;

END;

BEGIN

ENTER_DATA(A,B,C,E);

ABS_Integral:=INTEGRATION(A,B,C,E);

Writeln;

Writeln( 'Ответ: ');

writeln('Интеграл на промежутке от ',A:0:2,' до ',B:0:2,' равен ');

writeln (ABS_Integral:1:3,' с точностью ',E:1:3);

ReadKey;

END.

1.7 Инструкция пользователю.

Данная программа вычисляет значение интеграла функции заданной графически. Интервал интегрирования, точность вычислений и параметр функции вводятся пользователем. Программа вычислит результат и выдаст его (в числовом виде) на экран монитора.

После запуска программы на экране появится описание программы.

В ответ на приглашение к вводу значений следует ввести требуемые величины. Программа не претендует на универсальность, поэтому не стоит вводить запредельные границы интервала или очень маленькую ( ~0.001) точность вычислений. Поскольку скорость выполнения этой программы напрямую зависит от частоты процессора, то на процессорах, различающихся значительно, время вычислений (и допустимая точность) будут разными. В общем случае это определяется опытным путем.

Если все величины заданы корректно и вычисления не прерывались, то через некоторое время, зависящее от тактовой частоты процессора, программа подсчитает значение интеграла и выдаст его на экран.

В случае если требуется повторное вычисление значения, следует заново запустить программу.

1.8. Тестовый пример.

Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке

Введите границы интервала [A,B], причем (A<B), число C (0<C<1), число D (D<0) и точность E (E>0):

Число C:

0.9

Число D:

-0.1

Начало интервала A:

5

Конец интервала B:

10

Точность E:

1

Ответ:

Интеграл на промежутке от A до B равен

2.574 с точностью 1.000

Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке

Введите границы интервала [A,B], причем (A<B), число C (0<C<1), число D (D<0) и

точность E (E>0):

Число C:

0.9

Число D:

-0.1

Начало интервала A:

-0.9

Конец интервала B:

0.9

Точность E:

1

Ответ:

Интеграл на промежутке от A до B равен

-0.300 с точностью 1.000

2. Составление таблицы значений функции, заданной в виде разложения в ряд

Функция:

2.2 Математическая формулировка задачи.

Некоторые функции нельзя представить в виде конечной формулы, но вычисление значений таких функций часто бывает необходимо для различного рода расчетов. Такие функции могут быть заданы в виде разложения в бесконечный ряд, где при бесконечном увеличении членов ряда каждый последующий член меньше предыдущего. Каждый член ряда - это конкретное значение функции. Нахождение таких членов и дает возможность вычислить значение функции. И чем больше членов ряда рассмотреть, тем более точным получится значение функции.

Пусть требуется приближённо вычислить значение функции, заданной в виде разложения в бесконечный ряд. Идея алгоритма вычисления суммы членов ряда состоит в следующем:

Очевидно, что вычисление значения функции нужно производить за конечное число шагов. А значит, необходим некий ограничивающий фактор, в качестве которого в нашей задаче будет выступать погрешность вычислений (>0). Следовательно, вычислив каждый новый член ряда ak, нам необходимо проверить, не будет ли абсолютная величина очередного члена ряда меньше, чем величина погрешности , т.е. |ak| < . Если это неравенство не выполнилось, то следует вычислить новый член ряда, иначе можно заканчивать вычисление и выводить результат работы на экран дисплея.

Кроме того, при вычислении очередного члена целесообразно воспользоваться рекуррентным выражением: ak+1 = ck * ak; k = 0, 1, 2, …, где ak - некоторый k-ый член ряда; ak+1 - следующий k+1-ый член ряда; ck - коэффициент, определяемый номером k.

В данном случае нахождение коэффициента ck можно произвести следующим образом:

ak=;

ak+1=;

ck =

Следовательно, зная значение предыдущего члена ряда, порядковый номер следующего и используя полученную формулу, мы значительно упрощаем нахождение нового члена нашего ряда:

ak+1 =ak*; k = 0, 1, 2, …

2.4 Описание переменных.

2.5 Схема алгоритма.

Программа предназначена для вычисления

таблицы значений функции,

заданной в виде разложения в ряд.

Введите границы интервала [A,B] ( причем (A<B) );

точность E (E>0)

и шаг изменения аргумента H (H>0)

ДА

НЕТ

НЕТ

ДА

нет

да

нет

да

нет

2.5.1 Схема алгоритма процедуры Table_begin

¦Номер¦ X ¦ f(x) ¦ Номер члена ряда ¦

2.5.2 Схема алгоритма процедуры Table_end

2.6 Текст программы.

Program kkr1_2;

procedure Table_begin;

begin

writeln(' ----------------------------------------------------------------------------------');

writeln(' ¦Номер¦ X ¦ f(x) ¦ Номер члена ряда ¦');

writeln(' ----------------------------------------------------------------------------------');

end;

procedure Table_end;

begin

writeln(' ----------------------------------------------------------------------------------');

end;

var

K,number:integer;

A,B,H,E,X,y,f:real;

begin

Writeln ('Программа предназначена для вычисления таблицы значений функции, ');

writeln ('заданной в виде разложения в ряд.');

Writeln;

{------------------------------------------------------------------------}

{Ввод данных}

writeln('Введите границы интервала [A,B] ( причем (A<B) ); точность E (E>0)');

writeln('и шаг изменения аргумента H (H>0)');

writeln;

repeat

begin

writeln('Начало интервала A: '); readln(A);

writeln('Конец интервала B: '); readln(B);

if not (A<B) then writeln ('A должно быть меньше B !. Повторите ввод.');

end;

until (A<B);

repeat

begin

writeln('Точность E: '); readln(E);

if not (E>0) then writeln ('E должно быть больше 0 !. Повторите ввод.');

end;

until (E>0);

repeat

begin

writeln('Шаг H: ');readln(H);

if not (H>0) then writeln ('H должно быть больше 0 !. Повторите ввод.');

end;

until (H>0);

{------------------------------------------------------------------------}

writeln('Вы ввели: ');

writeln('A=',A:1:5, ' B=',B:1:5,' H=',H:1:5,' E=',E:1:5);

writeln;

{------------------------------------------------------------------------}

X:=A;

number:=0;

Table_begin;

repeat

k:=0;

y:=(cos(2*x))/3;

f:=0;

inc(number);

repeat

inc(k);

y:=y*cos(2*(k+1)*x)*(2*k-1)/((2*k+3)*cos(2*k*x));

f:=f+y;

until (abs(y)<E);

if (number mod 18)=0 then

begin

Table_end;

Table_begin;

end;

writeln(' ¦',number:5,'¦', X:20:13,' ¦ ',(4/Pi)*(0.5-f):16:13, ' ¦ ' ,k:7,' ¦');

X:=X+H;

until not (X<B);

Table_end;

end.

2.7 Инструкция пользователю.

После запуска программы, она сообщит, что предназначена для составления таблицы значений функции на определенном интервале и попросит ввести значения, необходимые для составления таблицы. К таким значениям относятся начало и конец интервала, шаг изменения аргумента , точность вычислений. Не стоит вводить слишком больших значений (либо слишком маленькую точность), так как тогда время работы программы сильно увеличится.

Чтобы правильно составить требуемую таблицу, программе необходимы значения, которые пользователь введет в программу. Вводить значения надо после приглашения программы к соответствующему действию. Важный момент - если таблица полностью не поместиться на экран, то после заполнения последней строки, помещающейся на данном экране, программа попросит нажать любую клавишу и продолжить составление таблицы на чистом экране, т.е. предварительно очистив предыдущую таблицу.

2.8. Тестовый пример.

Программа предназначена для вычисления таблицы значений функции,

заданной в виде разложения в ряд.

Введите границы интервала [A,B] ( причем (A<B) ); точность E (E>0)

и шаг изменения аргумента H (H>0):

Начало интервала A:

0.5

Конец интервала B:

7.6

Точность E:

.001

Шаг H:

1

Вы ввели:

A=0.50000 B=7.60000 H=1.00000 E=0.00100

------------------------------------------------------------------------------------------

¦Номер¦ X ¦ f(x) ¦ Номер члена ряда ¦

------------------------------------------------------------------------------------------

¦ 1 ¦ 0.50000000000 ¦ 0.70477448832 ¦ 7 ¦

¦ 2 ¦ 1.50000000000 ¦ 0.57770993869 ¦ 8 ¦

¦ 3 ¦ 2.50000000000 ¦ 0.71713212380 ¦ 10 ¦

¦ 4 ¦ 3.50000000000 ¦ 0.66752823117 ¦ 10 ¦

¦ 5 ¦ 4.50000000000 ¦ 0.59106729937 ¦ 10 ¦

¦ 6 ¦ 5.50000000000 ¦ 0.72198206866 ¦ 2 ¦

¦ 7 ¦ 6.50000000000 ¦ 0.60541986599 ¦ 9 ¦

¦ 8 ¦ 7.50000000000 ¦ 0.61517755154 ¦ 10 ¦

------------------------------------------------------------------------------------------

3.Работа с матрицами

3.2 Математическая формулировка задачи.

Чтобы найти сумму элементов, находящихся над диагоналями, надо сначала определить, что понимается под диагоналями и затем, исходя из этого, искать собственно сумму элементов.

3.3 Численный метод решения.

3.4 Описание переменных.

3.5 Схема алгоритма.

Программа ищет сумму элементов матрицы,

находящихся над и под ее диагоналями.

да

нет

нет

да

нет

да

нет

да

3.6 Текст программы.

Program kkr1_3;

var

Matrix:array [1..50,1..50] of integer;

i,j,K:byte;

sum:integer;

key:char;

begin

Writeln('Программа ищет сумму элементов матрицы, находящихся над и под ее диагоналями.');

Writeln;

{------------------------------------------------------------------------}

{Определение размерности матрицы}

repeat

Writeln('Введите размерность матрицы (K<=50): ');

readln(K);

if ((K<=1) or (K>50)) then

begin

writeln('Такая размерность невозможна по условию.');

writeln('Повторите ввод.');

end;

until ( (K>1) and (K<=50) );

{------------------------------------------------------------------------}

{Ввод матрицы}

writeln(`Введите матрицу');

for i:=1 to K do

for j:=1 to K do

begin

write('Matrix[',i,',',j,']=');

Readln(Matrix[i,j]);

end;

{------------------------------------------------------------------------}

{Вывод матрицы}

Writeln('Вы ввели: ');

for i:=1 to K do

begin

for j:=1 to K do write(Matrix[i,j],' ');

writeln;

end;

{------------------------------------------------------------------------}

{Вычисление суммы элементов. Первый проход}

Writeln;

for j:=1 to k do

begin

if j<=(k/2) then

begin

for i:=(j-1) downto 1 do sum:=sum+Matrix[i,j]

end

else

for i:=(j+1) to k do sum:=sum+Matrix[i,j];

end;

{------------------------------------------------------------------------}

{Вычисление суммы элементов. Второй проход}

for j:=k downto 1 do

begin

if j>(k/2) then

begin

for i:=(k-j) downto 1 do sum:=sum+Matrix[i,j];

end

else for i:=(k-j+2) to k do sum:=sum+Matrix[i,j];

end;

{------------------------------------------------------------------------}

{Вывод результата}

writeln('Cумма элементов над и под диагоналями равна ',sum);

end.

3.7 Инструкция пользователю.

Программа предназначена для вычислений суммы элементов матрицы расположенных над и под ее диагоналями. Ввод матрицы осуществляется пользователем в удобной для человека математической форме. Например:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Для запуска программы требуется набрать ее имя (kkr1_3.exe) в командной строке и нажать Enter. Программа выведет краткую информацию о собственном предназначении и попросить ввести размерность матрицы, которую пользователь будет вводить.

Размерность матрицы должна быть меньше или равна 50. Здесь есть особый момент. Естественно, размерность не может быть равной нулю или отрицательному числу. Поэтому при указании этих значений программа сообщит об их некорректности и попросит повторить ввод. Можно отказаться от ввода, нажав любую клавишу, или ввести новое значение, нажав Y. Кроме того, если размерность матрицы 1 или 2, то элементов, расположенных над и под диагоналями не существует. Программа логично выдаст результат, что их сумма равна нулю, при этом не сообщая об отсутствии таких элементов.

После указания размерности следует ввести саму матрицу. Матрицу наиболее удобно вводить следующим образом: элементы одной строки разделять пробелами, строки же - клавишей Enter. Если будет введено элементов больше, чем указанно размерностью матрицей, то такие элементы обрабатываться не будет. Чтобы не было недопонимания, пользователю выводится матрица, с которой осуществляются вычисления.

Программа посчитает сумму требуемых элементов и выдаст результат на экран. После этого, она завершится.

3.8. Тестовый пример.

Программа ищет сумму элементов матрицы, находящихся над и под ее диагоналями.

Введите размерность матрицы (K<=50):

3

Введите матрицу

Matrix[1,1]=12

Matrix[1,2]=45

Matrix[1,3]=89

Matrix[2,1]=74

Matrix[2,2]=23

Matrix[2,3]=5

Matrix[3,1]=4

Matrix[3,2]=15

Matrix[3,3]=65

Вы ввели:

12 45 89

74 23 5

4 15 65

Cумма элементов над и под диагоналями равна 60

Вывод.