Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.

Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.

Постановка задачи Винера-Колмогорова.

Дано: x (t) - полезный сигнал; z (t) - помеха; Kи (p) - оператор преобразования.

Рис. 1

Определить: оптимальную передаточную функцию - K0 (p).

Передаточная функция K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.

В зависимости от оператора Ки (р) рассматриваются следующие задачи:

Ки (р) = 1 - воспроизведения;

Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования;

Ки (р) = р - статистического дифференцирования;

Ки (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.

Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:

Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.

Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.

Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.

Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки

Средняя квадратичная ошибка равна

Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (). Необходимо найти такое к (), при котором ошибка будет минимальной.

Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.

Пусть

;

где: - оптимальная функция веса;

- приращение.

Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:

;

где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а2.

Найдем экстремум по параметру а

к () -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.

Откуда можно получить следующее выражение

(1)

Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.

Решение уравнение Винера-Хопфа.

Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:

(2)

Откуда

(3)

Но это уравнение физически нереализуемо так как к0 () = 0 при < 0 т.е. K0 (j) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.

Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.

Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:

(4)

Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

(5)

где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.

Определим

Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:

(6)

Это формула Винера-Колмогорова.

Примеры решений задач

Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).

Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

Kи (p) = 1;

Рис. 2

Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:

Так как сигнал и помеха некоррелированы и Kи (p) = 1, то выражение имеет вид:

Определим Кф (j)

При этом

Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов

С учетом полученных выражений

При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено

Где

Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3.

Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

Kи (p) = р;

Рис. 3

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:

Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид:

Определим Кф (j)

где

Где

Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов

С учетом полученных выражений

При этом передаточная функция представляет апериодическое звено

где

Литература
Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985.
Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.