При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.

Экспериментальные данные:

Информация о средстве измерения:

Вид закона распределения нормальный

Значение оценки среднего квадратичного отклонения

Доверительная вероятность

Мультипликативная поправка

Расчет

Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:

; ,

где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона

где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения , при этом следует учитывать, что . t = 1,64 при P=0,9

Используя правила округления, получим:

С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:

; .

Вносим мультипликативную поправку:

, ,.

Записываем результат:

<Q<; P=0,9

Задание 2. Многократное измерение
Условие задания

При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений . Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.

1	2	3	4	5	6	7	8
485	484	486	482	483	484	484	481
9	10	11	12	13	14	15	16
485	485	485	492	484	481	480	481
17	18	19	20	21	22	23	24
484	485	485	484	483	483	485	492

Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.

Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.

Далее определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:

В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .

При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.

Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .

1	2	3	4	5	6	7	8
485	484	486	482	483	484	484	481
9	10	11	12	13	14	15	16
485	485	485	484	481	480	481	484
17	18	19	20	21	22
485	485	484	483	483	485

Заново определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:

Условие выполняется для всех результатов измерений.

Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.

Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:

и сравнить с и .

Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .

Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.

Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .

Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:

Используя правила округления, получим:

Далее сравниваем значения и .

1	2	3	4	5	6	7	8
1,41	0,41	2,41	1,59	1,59	0,41	0,41	1,59
9	10	11	12	13	14	15	16
1,41	1,41	1,41	0,41	2,59	3,59	2,59	0,41
17	18	19	20	21	22
1,41	1,41	0,41	0,59	0,59	1,41

Мы видим, что не более m разностей превосходят , следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .

Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.

Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:

Определяем доверительный интервал

Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности определяется из распределения Стьюдента , где определяется из соответствующей таблицы.

Используя правила округления, получим:

Результат измерений запишется в виде:

Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений

Условие задания

При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 () результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.

Серия измерений 1.

1	2	3	4	5	6
485	484	486	482	483	484
7	8	9	10	11	12
484	481	485	485	485	492

Серия измерений 2.

1	2	3	4	5	6
484	481	480	481	484	485
7	8	9	10	11	12
485	484	483	483	485	492

Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.

Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.

Серия измерений 1.

Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.

Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

При , следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.

Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .

1	2	3	4	5	6
485	484	486	482	483	484
7	8	9	10	11
484	481	485	485	485

Заново определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

Условие выполняется для всех результатов серии измерений.

Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.

Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:

и сравнить с и .

Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.

, .

Используя правила округления, получим:

Далее сравниваем значения и .

1	2	3	4	5	6
1	0	2	2	1	0
7	8	9	10	11
0	3	1	1	1

Мы видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью

Серия измерений 2.

Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.

1	2	3	4	5	6
484	481	480	481	484	485
7	8	9	10	11	12
485	484	483	483	485	492

Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.

Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие .

1	2	3	4	5	6
484	481	480	481	484	485
7	8	9	10	11
485	484	483	483	485

Заново определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:

Условие выполняется для всех результатов серии измерений.

Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:

и сравнить с и .

Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.

, .

Используя правила округления, получим:

Далее сравниваем значения и .

1	2	3	4	5	6
0,82	2,18	3,18	2,18	0,82	1,82
7	8	9	10	11
1,82	0,82	0,18	0,18	1,82

Мы видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .

Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.

Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:

Задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем с .

Условие выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимым.

Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.

Для этого определяем значение:

И, задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера .

Условие выполняется. Серии с доверительной вероятностью считаем рассеянными.

Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения и среднеквадратического отклонения .

Задавшись доверительной вероятностью , определяем из таблиц распределения Стьюдента значение для числа степеней свободы

Затем определяем доверительный интервал :

Используя правила округления, получим:

Результат измерений запишется в виде:

Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)

Условие задания

При многократных измерениях независимых величин и получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления , (вид функции и характер величин представлены в таблице 3).

Вид функциональной зависимости .

Характер и единицы величин:

- ЭДС, мВ;

- сопротивление, Ом;

- сила тока, А.

Обработка результатов измерений величин и проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.

Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин и имеют вид

Гипотеза о нормальности распределения величин и подтверждается.

Определим оценку среднего значения функции:

Определим поправку

Определим оценку стандартного отклонения функции

Определяем доверительный интервал для функции

Законы распределения вероятности результатов измерения и признаны нормальными, можно определить для принятой доверительной вероятности из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы определяется из выражения

Используя правила округления, получим:

Результат запишется в виде:

Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей

Условие задания

При многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии по : .

1	2	3	4	5	6	7
61;602	62;613	63;620	64;631	65;639	66;648	67;656
8	9	10	11	12	13	14
68;662	69;667	70;682	9;87	19;188	29;286	39;386
15	16	17	18	19	20
49;485	59;575	69;667	79;770	89;868	99;966

В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида

Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.

Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.

Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:

1	2	3	4	5	6	7
-4,67	-0,67	0,33	3,33	5,33	-1,67	5,93
8	9	10	11	12	13	14
7,23	4,53	5,83	4,13	3,43	1,73	-1,97
15	16	17	18	19	20
-6,67	-6,67	-1,37	-0,67	0,33	1,33

последовательность ?Yi записана по мере возрастания Х

Критерий серий:

Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6

Задавшись доверительной вероятностью , для n=20 определяем по таблице допустимые границы и :

Критерий инверсий:

Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности : А=106.

Задавшись доверительной вероятностью для n=20 определяем по таблице допустимые границы и :

Оба неравенства выполняются и . Поэтому можно считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость.