Принцип местного влияния источников тепла устанавливает, что температурное поле зависит существенным образом от характера распределения источника тепла лишь на расстояниях одного порядка с размерами области, занятой источником. В области, удаленной от источника, температурное поле практически не изменяется, если заменить распределенный источник тепла приложенным в центре его тяжести сосредоточенным источником равной мощности. Вблизи дуги температурное поле в изделии любой формы и размеров является пространственным и определяется характером распределения тепла дуги. Размеры области пространственного распределения имеют один порядок с размерами дугового пятна в массивных изделиях, а также с толщиной листа или с размерами поперечного сечения стержня или полосы. Вдали от дуги температурные поля определяются формой изделия, т. е. в массивных изделиях являются пространственными, в листах -- плоскими, а в полосах или стержнях -- линейными и не зависят от характера распределения тепла источника.

Распространение тепла от мгновенных сосредоточенных источников

Мгновенный точечный источник. Распространение температуры при распространении теплоты от мгновенного источника теплоты, приложенного в точке О на поверхности полубесконечного тела (рис. 6.1), аналогично распространение температуры для бесконечного тела. Это объясняется тем, что граница тела хОу принимается непропускающей теплоту. Так как теплообмен на границе хОу отсутствует и теплота распространяется только в одну сторону от плоскости хОу, то процесс будет выражаться уравнением для мгновенного точечного источника в бесконечном теле с заменой в нем величины Q величиной 2 Q:

(6.1)

Теплоотдачей с поверхности хОу можно пренебречь, потому что распределение теплоты в полубесконечном теле в основном зависит от распространения ее путем теплопроводности в глубь тела, а не от теплоотдачи. Теплоотдача с поверхности безусловно оказывает некоторое влияние на распределение температуры, но в ряде случаев может не учитываться. Учет теплоотдачи существенно усложняет задачу определения температуры точек тела.

Рис. 6.1. Распределение температуры по радиусу R в различные моменты времени t в процессе распространения теплоты от мгновенного точечного источника в полубесконечном теле:

Q = 2000 дж; ср = 4 дж/см3· град; а=0,1 см2/сек

Структура уравнения (6.1) позволяет установить влияние количества введенной теплоты и теплофизических свойств материала на температуру отдельных точек тела. Чем больше Q, тем выше температура точек тела в любой момент времени. Температура прямо пропорциональна количеству введенной теплоты Q (рис. 6.2, а).

Температура точек тела, расположенных на различных расстояниях R от точки О, вначале повышается, достигает максимума, а затем уменьшается (рис. 6.2, б). Чем дальше от места введения теплоты находится точка, тем позже достигается максимальная температура и тем ниже ее значение. Расчетная температура точки О в начальный момент времени при t=0 стремится к бесконечности. С течением времени конечное количество теплоты растекается в неограниченном объеме полубесконечного тела и температуры всех точек стремятся к нулю.

Рис. 6.2. Зависимость процесса распространения теплоты от мгновенноготочечного источника в полубесконечном теле: а -- от количества введенной теплоты Q; б -- от расстояния R до точки О; в -- от теплоемкости материала c?

При постоянной теплоемкости c? увеличение коэффициента теплопроводности металла ? приводит к ускорению процесса распространения теплоты. Максимальные достигаемые значения температур в различных точках остаются теми же самыми, но продолжительность времени с момента введения теплоты до получения максимальной температуры сокращается во столько раз, во сколько раз повышается теплопроводность материала ?. Указанная закономерность обнаруживается, если преобразовать уравнение (6.1), приняв a = ?/c?:

(6.2)

Коэффициент ? входит как сомножитель времени t. Поэтому с увеличением ? картина распределения температур в теле остается подобной, но процесс изменения температур ускоряется. Иными словами, если произвести киносъемку изменения полей температур, а затем изображение показать с повышенной скоростью, то наблюдаемая картина будет соответствовать процессу изменения температур в теле с большей теплопроводностью.

Теплоемкость металла c? при постоянной теплопроводности ? оказывает более сложное влияние на процесс распространения теплоты в полубесконечном теле. Изменение теплоемкости можно представить, как одновременное действие двух процессов: изменения количества введенной теплоты и изменения скорости распространения теплоты. Запишем уравнение (6.1) иначе:

(6.3)

Увеличение теплоемкости ср при ?=const равносильно одновременному уменьшению Q и ?. Температура точек тела уменьшается при одновременном замедлении процесса распространения теплоты. На рис. 6.2, в представлены для сравнения термические циклы в одной и той же точке тела при разных с?.

Распространение тепла мгновенного линейного источника

При распространении теплоты от мгновенного линейного источника в пластине, плоскости которой не пропускают теплоты, температура в каждой точке будет одинаковой по толщине пластины. Влияние Q, ? и c? на процесс распространения теплоты и на распределение температур будет такое же, как и в случае мгновенного точечного источника теплоты в полубесконечном теле.

Изменение температуры во времени качественно протекает так же, как и в полубесконечном теле, т. е. температура отдельных точек пластины вначале повышается, достигает максимума, а затем уменьшается. Более удаленные точки нагреваются до меньших максимальных температур. Однако распространение теплоты в пластине происходит более стесненно, чем в полубесконечном теле. В то время как в полубесконечном теле теплота распространяется в направлении трех координатных осей х, у, z, в пластине теплота распространяется только в двух направлениях-- х и у. Это приводит к тому, что процесс изменения температуры во времени происходит в пластине медленнее.

Теплоотдача через поверхности пластины оказывает более заметное влияние на поле температур, чем это имеет место в полубесконечном теле. При расчетах температур в пластинах в ряде случаев, в особенности если пластины тонкие, необходимо учитывать теплоотдачу в окружающую среду.

(6.4)

Уравнение (6.4) содержит множитель e-bt, который учитывает теплоотдачу в окружающее пространство, но не отражает того факта, что теплота отдается с поверхности пластины и температура по ее толщине неравномерна. В тонких пластинах, несмотря на значительную теплоотдачу, неравномерность распределения температуры по их толщине незначительна и ею можно пренебрегать. В некоторых случаях неравномерность температуры по толщине пластин может достигать нескольких десятков градусов. Чем продолжительнее процесс распространения теплоты, тем большее значение имеет теплоотдача в изменении температуры пластины.

Распространение тепла мгновенного плоского источника

Теплота от мгновенного плоского источника в стержне распространяется в основном в направлении вдоль стержня. Если пренебрегать теплоотдачей боковых поверхностей, то температуру по поперечному сечению стержня можно считать равномерной, а процесс распространения теплоты -- линейным. В случае заметной теплоотдачи с поверхности температура по поперечному сечению стержня будет неравномерной. Учет теплоотдачи производится путем введения в уравнение сомножителя e-bt, который отражает лишь понижение средней температуры в сечении, но не выражает неравномерности температуры по толщине стержня:

(6.5)

Здесь b по аналогии с пластиной является коэффициентом температуроотдачи для стержня: b= ?p/c?F , где р -- периметр поперечного сечения стержня, см.

Тепловой поток в воздух в единицу времени с единицы стержня q = -?рТ. Тепловой поток в стержне еще более стеснен по сравнению с пластиной и массивным телом, поэтому процесс изменения температуры во времени происходит еще медленнее, чем в пластине.

Сравнение процессов -- пространственного, плоского и линейного. Процессы распространения тепла мгновенных источников в л теле, пластине и стержне, описываемые уравнениями (6.1), (6.4) и (6.5), отличаются друг от друга характером зависимости температуры от времени. Температура точек, где был приложен источник тепла, в зависимости от времени представлена графически для трех основных геометрических форм -- полубесконечного тела, пластины и стержня (рис. 6.3).

Кривая 1 описывает изменение температуры для пространственного процесса распространения тепла в полубесконечном теле от сосредоточенного точечного источника, кривая 2 -- для плоского процесса в пластине от линейного источника и кривая 3 -- для линейного процесса в стержне от плоского источника. В полубесконечном теле-- кривая 1 -- изменение температуры описывается гиперболой степени 3/2; TR=0=C/t3/2, в пластине функцией Tr=0=B/t·e-bt. Если бы можно было пренебречь теплоотдачей в окружающую среду (b=0), то кривая 2 выражалась бы простой гиперболой. Множитель e-bt ускоряет процесс охлаждения вследствие теплоотдачи. Кривая 3 представляет функцию Тx=0=A/t-1/2·e-bt; для стержня с непропускающей тепла поверхностью (b=0) кривая 3 выражается гиперболой степени ?.

Рис. 6.3 Изменение температуры в точке, где был приложен источник тепла, в зависимости от формы тела:

1 -- для полубесконечнгго тела; 2--для пластины; 3--для стержня.

Сравнивая темп охлаждения во всех трех случаях, можно сделать следующий вывод. Процессы распространения тепла от мгновенного сосредоточенного источника в пространственном, плоском и линейном полях качественно одинаковы, но темп их протекания тем более замедлен, чем ограниченнее область распространения тепла, т. е. с переходом от тела к пластине и далее к стержню. Чем более стеснен поток тепла, тем медленнее охлаждается область, где был приложен сосредоточенный источник.

Непрерывно действующие неподвижные источники теплоты

Процесс нагрева тела непрерывно действующим неподвижным источником теплоты можно представить как серию действующих друг за другом мгновенных источников теплоты. Используя принцип наложения, можно найти распределение температур в случае непрерывно действующего источника теплоты путем интегрирования температурных полей от отдельных источников.

Точечный источник теплоты на поверхности полубесконечного тела. Предположим, что мгновенный точечный источник теплоты мощностью q действовал в течение бесконечно малого отрезка времени dt и с тех пор прошло время t. Тогда температура точек тела на основании уравнения (6.1)

(6.6)

Если источник теплоты не прекращал своего действия в течение времени t, то температура определится путем интегрирования выражения (6.6) в пределах от 0 до t:

(6.7)

Вводим замену R2/4at =u2 и интегрируем

(6.8)

где

Из выражения (6.8) следует, что при t=const температура убывает с увеличением расстояния R несколько быстрее, чем 1/R, так как выражение в скобках также уменьшается с ростом R.

На рис. 6.4, а показано нарастание температуры отдельных точек во времени. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, предельная температура достигается быстрее.

Линейный источник теплоты в пластине. Рассмотрим случай линейного источника теплоты в пластине без теплоотдачи. Аналогично точечному источнику теплоты, из уравнения (6.4) находим приращение температуры:

(6.9)

Интегрируем от 0 до t и вводим замену z=r2/4at

(6.10)

где Ei-- интегральная показательная функция.

Рис. 6.4 Изменение температуры во времени при действии неподвижного источника теплоты; U=25 в; I=100 а; ? = 0,6; ? =0,38 дж/см·сек·град; c?=4,8 дж/см3·град в точках на расстояниях 0,7см, 1см и 1,5 см от источника:

a-- точечный источник теплоты в полубесконечном теле; б -- линейный источник теплоты в бесконечной пластине ? = 1,2 см; в -- плоский источник теплоты в бесконечном стержне F--8 см2

Изменение температуры во времени показано на рис. 6.4, б. В отличие от точечного источника теплоты в полубесконечном теле, где температуры отдельных точек стремятся к определенным значениям, в пластине температуры точек возрастают беспредельно. Непрерывное нарастание температуры объясняется тем, что в пластине тепловой поток стеснен и теплота не успевает перетекать в более холодные зоны. При наличии теплоотдачи с поверхностей пластины температуры точек стремятся к определенным конечным значениям.

Плоский источник теплоты в стержне. Рассмотрим случай нагрева плоским источником теплоты полубесконечного стержня без теплоотдачи. Поступая аналогично предыдущим случаям, из выражения (6.5) с учетом b = 0 находим приращение температуры:

(6.11)

Интегрируя от 0 до t и вводя замены, находим

(6.12)

Так же как и в случае линейного источника теплоты, температура точек стержня беспредельно возрастает с ростом t (рис. 6.4, в).

Выравнивание температур

Прием, с помощью которого можно рассчитать процесс выравнивания, основан на использовании фиктивных источников теплоты и стоков теплоты. Его целесообразно применять в тех случаях, когда известен закон действия источника теплоты вплоть до начала процесса выравнивания. Например, известно, что на поверхности полубесконечного тела в течение времени t0 действовал точечный неподвижный источник теплоты постоянной мощности q (рис. 6.5).

Искусственно можно представить, что после прекращения действия источника теплоты q продолжают действовать одновременно в одной и той же точке фиктивный источник теплоты q и фиктивный сток теплоты -- q. Под стоком теплоты будем понимать такой источник теплоты, действие которого вызывает отрицательную температуру.

Рис. 6.5 Схема действия фиктивного источника и фиктивного стока теплоты для определения выравнивания температуры

Фиктивный источник теплоты и фиктивный сток теплоты будут взаимно уничтожаться, т. е. будет соблюдаться условие о прекращении существования действительного источника теплоты, начиная с момента времени t=t0. Температура в период выравнивания определится, как разность температур источника ТИ и стока Тс теплоты. Используя выражение (6.8), находим

(6.13)

где t -- время от начала действия источника теплоты до рассматриваемого момента времени; t0 -- продолжительность действия источника теплоты. Аналогично можно определить выравнивание температур после окончания действия линейного или плоского неподвижного источника теплоты.