Развитие наглядно-действенного и наглядно-образного мышления младших школьников

трехлетней начальной школы и является альтернативной системе обучения,

которая действовала и действует сейчас в практике. Геометрический материал

пронизывает все три курса начальной школы, т. е. он изучается во всех трех

классах по сравнению с традиционной системой.

В первом классе особое место уделяется знакомству с геометрическими

фигурами, их сравнению, классификации, выявлению свойств, присущих той или

иной фигуре.

"Именно такой подход к изучению геометрического материала делает его

эффективным для развития детей", - считает Л. В. Занюков. Его программа

направлена на развитие познавательных способностей детей, поэтому в

учебнике по математике содержится много заданий на развитие памяти,

внимания, восприятия, развития, мышления.

Развивающее обучение по системе Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова

предусматривает в развитии ребенка познавательных функций (мышления,

восприятия памяти и т. д.) Программа ставит своей целью формирования у

младших школьников математических понятий на основе содержательного

обобщения, которое означает, что ребенок движется в учебном материале от

общего к частному, от абстрактного к конкретному. Основным содержанием

представленной программы обучения является понятие рационального числа,

начинающегося с анализа генетически исходного для всех видов чисел

отношений. Таким отношением, порождающим рациональное число, является

отношение величин. С изучением величин и свойств их отношений и начинается

курс математики в первом классе.

Геометрический материал связывается с изучением величин и действий с

ними. Вычеркивая, вырезая, моделируя, дети знакомятся с геометрическими

фигурами и их свойствами. В третьем классе специально рассматриваются

способы непосредственного измерения площади фигур и вычисления площади

прямоугольника по заданным сторонам. Среди имеющихся программ существует

программа развивающего обучения Н. Б. Истоминой. При создании своей системы

автор постаралась осуществить всесторонний учет тех условий, которые влияют

на развитие детей, Истомина подчеркивает, что развитие может осуществляться

в деятельности. Первой идеей программы Истоминой является идея деятельного

подхода к обучению максимальная активность самого ученика. И репродуктивная

и продуктивная деятельность влияет на развитие памяти, внимания,

восприятия, но мыслительные процессы успешнее развиваются при продуктивной,

творческой деятельности. "Развитие будет идти, если деятельность будет

систематичной",- считает Истомина.

В учебниках первого – третьего классов содержится много заданий

геометрического содержания для развития позитивных способностей.

2. Особенности развития наглядно-действенного и наглядно-образного

мышления детей младшего школьного возраста.

Интенсивное развитие интеллекта происходит в младшем школьном

возрасте.

Ребенок, особенно 7-8 летнего возраста, обычно мыслит конкретными

категориями, опираясь при этом на наглядные свойства и качества конкретных

предметов и явлений, поэтому в младшем школьном возрасте продолжает

развиваться наглядно-действенное и наглядно-образное мышление, что

предполагает активное включение в обучение моделей разного типа (предметные

модели, схемы, таблицы, графики и т.п.)

"Книжка с картинками, наглядное пособие, шутка учителя – все вызывает

у них немедленную реакцию. Младшие школьники находятся во власти яркого

факта, образы, возникающие на основе описания во время рассказа учителя или

чтения книжки, очень ярки". (Блонский П.П.: 1997, с. 34).

Младшие школьники склонны понимать буквально переносное значение слов,

наполняя их конкретными образами. Ту или иную мыслительную задачу учащиеся

решают легче, если опираются на конкретные предметы, представления или

действия. Учитывая образность мышления, учитель принимает большое

количество наглядных пособий, раскрывает содержание абстрактных понятий и

переносное значение слов на ряде конкретных примеров. И запоминают младшие

школьники первоначально не то, что является наиболее существенным с точки

зрения учебных задач, а то, что произвело на них наибольшее впечатление:

то, что интересно, эмоционально окрашено, неожиданно и ново.

Наглядно-образное мышление очень ярко проявляется при понимании,

например, сложных картин, ситуаций. Для понимания таких сложных ситуаций

требуется сложная ориентировочная деятельность. Понять сложную картину –

это значит понять ее внутренний смысл. Понимание смысла требует сложной

аналитико-синтетической работы, выделения деталей сопоставления их друг с

другом. В наглядно-образном мышлении участвует и речь, которая помогает

назвать признак, сопоставить признаки. Только на основе развития наглядно-

действенного и наглядно-образного мышления начинает формироваться в этом

возрасте формально-логическое мышление.

Мышление детей этого возраста значительно отличается от мышления

дошкольников: так если для мышления дошкольника характерно такое качество,

как непроизвольность, малая управляемость и в постановке мыслительной

задачи, и в ее решении, они чаще и легче задумываются и над тем, что им

интересней, что их увлекает, то младшие школьники в результате, обучения в

школе, когда необходимо регулярно выполнять задания в обязательном

порядке, научиться управлять своим мышлением.

Во многом формированию такому произвольному, управляемому мышлению

способствует указание учителя на уроке, побуждающие детей к размышлению.

Учителя знают, что мышление у детей одного и того же возраста

достаточно разное. Одни дети легче решают задачи практического характера,

когда требуется использовать приемы наглядно-действенного мышления ,

например задачи, связанные с конструированием и изготовлением изделий на

уроках труда. Другим легче даются задания, связанные с необходимостью

воображать и представлять какие-либо события или какие-нибудь состояния

предметов или явлений. Например, при написании изложений, подготовке

рассказа по картинке и т.п. Третья часть детей легче рассуждает, строит

условные суждения и умозаключения, что позволяет им более успешно, чем

остальным детям, решать математические задачи, выводить общие правила и

использовать их в конкретных случаях.

Встречаются такие дети, которым трудно и мыслить практически и

оперировать образами, и рассуждать, и такие, которым все это делать легко

(Теплов Б.М.: 1961, с. 80).

Наличие такого разнообразия в развитии разных видов мышления у разных

детей в значительной мере затрудняет и осложняет работу учителя. Поэтому

ему целесообразно более отчетливо представлять основные уровни развития

видов мышления у младших школьников.

О наличии того или иного вида мышления у ребенка можно судить по тому,

как он решает соответствующие данному виду мышления задачи. Так, если при

решении легких задач – на практическое преобразование предметов, или на

оперирование их образами, или на рассуждение – ребенок плохо

разбирается в их условии, путается и теряется при поиске их решения, то

в этом случае считается, что у него первый уровень развития в

соответствующем виде мышления (Зак А.З.: 1984, с. 42).

Если ребенок успешно решает легкие задачи, предназначенные для

применения того или иного вида мышления, но затрудняется в решении более

сложных задач, в частности из-за того, что ему не удается представить все

это решение целиком, поскольку недостаточно развито умение планировать, то

в этом случае считается, что у него второй уровень развития в

соответствующем виде мышления.

И наконец, если ребенок успешно решает и легкие и сложные задачи в

рамках соответствующего вида мышления и даже может помочь другим детям в

решении легких задач, объясняя причины допускаемых ими ошибок, а так же

может придумывать сам легкие задачи, то этом случае считается, что у него

третий уровень развития соответствующего вида мышления.

Опираясь на эти уровни в развитии мышления, учитель сможет более

конкретно охарактеризовать мышление каждого ученика.

Для умственного развития младшего школьника нужно использовать три

вида мышления. При этом с помощью каждого из них у ребенка лучше

формируются те или иные качества ума. Так решение задач с помощью

наглядно-действенного мышления позволяет развить у учеников навыки

управления своими действиями, осуществление целенаправленных, а не

случайных и хаотичных попыток в решении задач.

Такая особенность этого вида мышления следствие того, что с его

помощью решаются задачи, в которых предметы можно брать в руки, чтобы

изменить их состояния и свойства, а так же расположить в пространстве.

Поскольку, работая с предметами, ребенку легче наблюдать за своими

действиями по их изменению, то в этом случае и легче управлять действиями,

прекращать практические попытки, если их результат не соответствует

требованиям задачи, или наоборот заставлять себя довести попытку до

конца, до получения определенного результата, а не бросить ее выполнение,

не узнав результата.

С помощью наглядно-действенного мышления удобнее развивать у детей

такое важное качество ума, как способность при решении задач действовать

целенаправленно, сознательно управлять и контролировать своими действиями.

Своеобразие наглядно-образного мышления заключается в том, что решая

задачи с его помощью, ребенок не имеет возможности реально изменять

образы и представления, а только по воображению.

Это позволяет разрабатывать разные планы для достижения цели,

мысленно согласовывать эти планы, чтобы найти наилучший. Поскольку при

решении задач с помощью наглядно-образного мышления, ребенку приходится

оперировать лишь образами предметов (т.е. оперировать предметами лишь в

мысленном плане), то в этом случае труднее управлять своими действиями,

контролировать их и осознавать, чем в том случае, когда имеется возможность

оперировать самими предметами.

Поэтому главная цель развития у детей наглядно-образного мышления

заключается в том, чтобы с его помощью формировать умение рассматривать

разные пути, разные планы, разные варианты достижения цели, разные способы

решения задач.

Это следует из того, что оперируя предметами в мыслительном плате,

представляя возможные варианты их изменений можно найти быстрее нужное

решение, чем выполняя каждый вариант, который возможен. Тем более, что не

всегда имеются условия для многократных изменений в реальной ситуации.

Своеобразие словесно-логического мышления, по сравнению с наглядно-

действенным и наглядно-образным, состоит в том, что это отвлеченное

мышление, в ходе которого ребенок действует не с вещами и их образами, а с

понятиями о них, оформленных в словах иди знаках. При этом ребенок

действует по определенным правилам, отвлекаясь от наглядных особенностей

вещей и их образов.

Поэтому главная цель работы по развитию у детей словесно-логического

мышления заключается в том, чтобы с его помощью формировать умение

рассуждать, делать выводы из тех суждений, которые предлагаются в

количестве исходных, умение ограничиваться содержанием этих суждений и не

привлекать других соображений, связанных с внешними особенностями тех

вещей или образов, которые отражаются и обозначают в исходных суждениях.

Итак, существует три вида мышления: наглядно-действенное, наглядно-

образное, словесно-логическое. Уровни мышления у детей одного и того же

возраста достаточно разные. Поэтому задача педагогов, психологов состоит в

дифференцированном подходе к развитию мышления у младших школьников.

3. Развитие наглядно-действенного и наглядно-образного мышления при

изучении геометрического материала на уроках опытных учителей.

Одна из психологических особенностей детей младшего школьного

возраста - преобладание наглядно-образного мышления и именно на первых

этапах обучения математике большие возможности для дальнейшего развития

этого вида мышления, а также наглядно-действенного мышления дает работа с

геометрическим материалом, конструирование. Зная это, учителя начальных

классов включают в свои уроки геометрические задания, а также задания,

связанные с конструированием или проводят интегрированные уроки по

математике и трудовому обучению.

В этом параграфе отражается опыт учителей по использованию заданий,

которые способствуют развитию наглядно-действенного и наглядно-образного

мышления младших школьников.

Например, учитель Т.А. Скранжевская на своих занятиях использует игру

"Почтальон".

В игре участвуют три ученика – почтальона. Каждому из них нужно

доставить письмо в три дома.

На каждом доме изображена одна из геометрических фигур. В сумке

почтальона находятся письма – 10 геометрических фигур, вырезанные из

картона. по сигналу учителя почтальон ищет письмо и несет его в

соответствующий дом. Выигрывает тот, кто быстрее доставит все письма в

дома – разложит геометрические фигуры.

Учительница московской школы № 870 Попкова С.С. предлагает такие

задания по развитию рассматриваемых видов мышления.

1. Какие геометрические фигуры использованы в рисунке?

2. Назовите геометрические фигуры, из которых составлен этот домик?

3. Выложите из палочек треугольники. Сколько палочек потребовалось?

Много заданий по развитию наглядно-действенного и наглядно-образного

мышления используется Крапивиной Е.А. Приведу некоторые из них.

1. Какая фигура получится, если соединить концы ее, состоящие из трех

отрезков? Начертите эту фигуру.

2. Разрежьте квадрат на четыре равных треугольника.

Сложите из четырех треугольников один треугольник. Какой он?

3. Разрежьте квадрат на четыре фигуры и сложите из них прямоугольник.

4. Проведите в каждой фигуре отрезок, чтобы получился квадрат.

Рассмотрим и проанализируем опыт учителя начальных классов

Борисовской средней школы № 2 Белоус И.В., которая уделяет большое внимание

развитию мышления младших школьников, в частности наглядно-действенному и

наглядно-образному, проводя интегрированные уроки математики и трудового

обучения.

Белоус И.В, учитывая развитие мышления учащихся, на интегрированных

уроках старалась включать элементы игры, элементы занимательности, на

уроках использует много наглядного материала.

Так, например, при изучении геометрического материала, дети в

занимательной форме знакомились с некоторыми основными геометрическими

понятиями, учились ориентироваться в простейших геометрических ситуациях и

обнаруживать геометрические фигуры в окружающей обстановке.

После изучения каждой геометрической фигуры дети выполняли творческие

работы, конструировали из бумаги, проволоки и т.д.

Дети знакомились с точкой и линией, отрезком и лучом. При построении

двух лучей, исходящих из одной точки, получалась новая для детей

геометрическая фигура. Они сами определяли ее название. Так вводится

понятие угла, которое в ходе выполнения практической работы с проволокой,

пластилином, счетными палочками, цветной бумагой совершенствует и

переходит в навык. После этого дети приступали к построению различных

углов с помощью транспортира и линейки и учились измерять их.

Здесь Ирина Васильевна организовывала работу в парах, группами, по

индивидуальным карточкам. Знания, полученные учащимися по теме "Углы"

связывала с практическим применением. Сформировав понятие отрезка, луча,

угла, подводила детей к знакомству с многоугольниками.

Во 2 классе, знакомя детей с такими понятиями, как окружность,

диаметр, дуга, показывает как пользоваться циркулем. В результате чего дети

приобретают практический навык работы с циркулем.

В 3 классе при знакомстве учащихся с понятиями параллелограмм,

трапеция, цилиндр, конус, шар, призма, пирамида дети моделировали и

конструировали из разверток эти фигуры, познакомились с игрой "Танграм",

"Угадайка".

Приведем фрагменты нескольких уроков – путешествий в город Геометрию.

Урок 1 (фрагмент).

Тема: Из чего город построен?

Цель: познакомить с основными понятиями: точка, линия (прямая,

кривая), отрезок, ломаная, замкнутая ломаная.

1. Сказка о том, как родилась линия.

Жила-была красная Точка в городе Геометрии (точка ставится на доске

учителем, а детьми на бумаге). Скучно было Точке одной и решила она

отправиться в путешествие, чтобы найти себе друзей. Только вышла красная

Точка за пометку, а навстречу ей тоже точка идет, только зеленая. Подходит

зеленая Точка к красной и спрашивает, куда та идет.

- Иду искать друзей. Становись со мной рядом, будем вместе путешествовать

(дети ставят рядом с красной зеленую точку). Через некоторое время

встречают они синюю точку. Идут по дороге друзья – точки и их с каждым

днем становится все дольше и больше и, наконец, их стало так много, что

выстроились они в один ряд, плечом к плечу, и получилась линия (учащиеся

проводят линию). Когда точки идут прямо, получается линия прямая, когда

неровно, криво – линия кривая (учащиеся проводят и ту, и другую линии).

Решил однажды Карандаш прогуляться по прямой линии. Идет, устал, а

когда линии все не видно.

- Долго ли мне еще идти? Доберусь ли я до конца? – спрашивает он у Прямой.

- А она ему в ответ.

- Эх ты, у меня же нет конца.

- Тогда я поверну в другую сторону.

- И в другую сторону не будет конца. У линии совсем нет конца. Я даже

песенку могу спеть:

Без конца и края линия прямая!

Хоть сто лет по мне иди,

Не найдешь конца пути.

Расстроился Карандаш.

- Что же мне делать? Я не хочу ходить без конца!

- Ну, тогда отметь на мне две точки, - посоветовала прямая.

Так Карандаш и сделал. – Появилось два конца. Теперь я могу гулять от

одного конца до другого. Но тут же задумался.

- А что же это такое получилось?

- Мой отрезок! – сказала Прямая (учащиеся упражняются в черчении разных

отрезков).

2. Далее учащимся дается понятие ломаной и упражнения для закрепления

материала.

а) Сколько отрезков в этой ломаной линии?

Урок 2 (фрагмент).

Тема: Дороги в городе Геометрии.

Цель: познакомить с пересечением прямых, с параллельными прямыми.

1. Согнуть лист бумаги. Разверните его. Какую линию вы получили? Согните

лист в другую сторону. Разверните. Вы получили еще одну прямую.

Есть ли у этих двух прямых общая точка? отметьте ее. Мы видим, что

прямые пересекались в точке.

Возьмите другой лист бумаги и сложите его пополам. Что вы видите?

Такие прямые называются параллельными.

2. Найдите в классе параллельные прямые.

3. Попробуйте из палочек выложить фигуру с параллельными сторонами.

4. Используя семь палочек, выложите два квадрата.

5. В фигуре, состоящей из четырех квадратов, уберите две палочки, чтобы

осталось два квадрата.

Изучив опыт работы Белоусов И.В. и других учителей мы убедились в

том, что очень важно, начиная с младших классов, при изложении математики

использовать различные геометрические объекты. А еще лучше проводить

интегрированные уроки математики и трудового обучения с использованием

геометрического материала. Важным средством развития наглядно-действенного

и наглядно-образного мышления является практическая деятельность с

геометрическими телами.

Глава II. Методико-математические основы формирования

наглядно-действенного и наглядно-образного

мышления младших школьников.

2.1. Геометрические фигуры на плоскости

В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по

объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того,

чтобы мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами, мог

научить их правильно изображать, ему нужна соответствующая математическая

подготовка. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии,

знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

При изображении плоской фигуры не возникает никаких геометрических

проблем. Чертеж служит либо точной копией оригинала, либо представляет ему

подобную фигуру. Рассматривая на чертеже изображение круга, мы получаем

такое же зрительное впечатление, как если бы рассматривали круг-оригинал.

Поэтому изучение геометрии начинается с планиметрии.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на

плоскости.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она

называется плоской.

Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры.

Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар,

пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие

множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую,

можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их

пересечение есть отрезок АМ.

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой,

если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их

отрезок.

Фигура F1 – выпуклая, а фигура F2 – невыпуклая.

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка.

нетрудно убедится в том, что выпуклой фигурой является круг.

Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим

хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в

круге, и, значит, круг – выпуклая фигура.

Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих

аксиомах:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой

прямой и не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых

на плоскости.

2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя

другими.

Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на

прямой.

3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина

отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой

его точкой.

Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Этим предложением выражается основное свойство расположения точек

относительно прямой на плоскости.

5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля.

Развернутый угол равен 180о. Градусная мера угла равна сумме

градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом,

проходящим между его сторонами.

Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок

заданной длины, и только один.

7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с

заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.

В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и

отрезков.

К основным свойствам простейших фигур относится и существование

треугольника, равного данному.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в

заданном расположении относительно данной полупрямой.

Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на

плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Рассмотрим некоторые геометрические фигуры, которые изучаются в

начальной школе.

Углы.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух

лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее

начало – его вершиной.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым.

Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший

развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие

плоского угла.

Плоский угол – это часть плоскости, ограничения двумя различными

лучами, исходящими из одной точки.

Существует два плоских угла, образованные двумя лучами с общим

началом. Они называются дополнительными. На рисунке изображены два плоских

угла со сторонами ОА и ОВ, один из них заштрихован.

Углы бывают смежные и вертикальные.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие

стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются

дополнительными полупрямыми сторон другого.

Углы АОД и СОВ, а также углы АОС и ДОВ – вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не

пересекаются.

Если прямая а параллельна прямой в, то пишут а II в .

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под

прямым углом.

Если прямая а перпендикулярна прямой в, то пишут а в.

Треугольники.

Треугольников называется геометрическая фигура, которая состоит из

трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их

отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и

внешнюю.

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы,

высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называются

перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей

противоположную сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла

треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется

отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины

двух его сторон.

Четырехугольники.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек

и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из

данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не

должны пересекаться. Данные точки называются вершинами треугольника, а

соединяющие из отрезки – его сторонами.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются

противолежащими.

У четырехугольника АВСД вершины А и В – соседние, а вершины А и С –

противолежащие; стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АД – противолежащие;

отрезки АС и ВД – диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник

АВСД – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый.

Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого

противолежащие стороны параллельны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две

противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются

основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок,

соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

ВС и АД – основания трапеции; АВ и СД – боковые стороны; КМ – средняя

линия трапеции.

Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Из множества прямоугольников выделяют квадраты.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Окружность.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек

плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.

Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок,

соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая

через центр, называется диаметром. ОА – радиус, СД – хорда, АВ – диаметр.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в

ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется

дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

По новым учебникам в новых программах М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В.

Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой в 4 классе даются задачи на

построение, такие, которых раньше в программе по математике в начальной

школе не было. Это такие задачи, как:

- построить перпендикуляр к прямой;

- разделить отрезок пополам;

- построить треугольник по трем сторонам;

- построить правильный треугольник, равнобедренный треугольник;

- построить шестиугольник;

- построить квадрат, пользуясь свойствами диагоналей квадрата;

- построить прямоугольник, пользуясь свойством диагоналей прямоугольника.

Рассмотрим построение геометрических фигур на плоскости.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения, называется

конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии

является понятие "построить фигуру". Основные предложения формируются в

виде аксиом и сводятся к следующим.

1. Каждая данная фигура построена.

2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и объединение этих

фигур.

3. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их

пересечение пустым множеством или нет.

4. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

5. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их разность

пустым множеством или нет.

6. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то

она построена.

7. Можно простроить точку, принадлежащую простроенной фигуре.

8. Можно построить точку, не принадлежащей построенной фигуре.

Для построения геометрических фигур, обладающих некоторыми указанными

свойствами, пользуются различными чертежными инструментами. Простейшими из

них являются: односторонняя линейка ( в дальнейшем просто линейка),

двусторонняя линейка, угольник, циркуль и др.

Различные чертежные инструменты позволяют выполнять различные

построения. Свойства чертежных инструментов, используемые для

геометрических построений, также выражаются в форме аксиом.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются построения

геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, мы также остановимся на

рассмотрении основных построений, выполняемых именно этими чертежами

инструментами.

Итак, с помощью линейки можно выполнить следующие геометрические

построения.

1. построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

2. построить прямую, проходящую через две построенные точки;

3. построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через

построенную точку.

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

1. построить окружность, если построен ее центр и отрезок, равный радиусу

окружности;

2. построить любую из двух дополнительных дуг окружность, если построены

центр окружности и концы этих дуг.

Элементарные задачи на построение.

Задачи на построение – это, пожалуй, самые древние математические

задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур,

способствуют развитию графических умений.

Задача на построение считается решенной, если указан способ

построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных

построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.

1. Построить на данной прямой отрезок СД, равный данному отрезку АВ.

Возможность только построения вытекает из аксиомы откладывания

отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следующим образом.

Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с

центром в точке С окружность с прямой а обозначаем Д. Получаем отрезок

СД, равный АВ.

2. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пусть даны точки О и прямая а. Возможны два случая:

1. Точка О лежит на прямой а;

2. Точка О не лежит на прямой а.

В первом случае из обозначим точку С, не лежащую на прямой а. Из точки

С как из центра списываем окружность произвольного радиуса. Пусть А и В –

точки ее пересечения. Из точек А и В описываем окружность одного радиуса.

Пусть точка О – точка их пересечения, отличная от С. Тогда полупрямая СО –

это биссектриса развернутого угла, а также и перпендикуляр к прямой а.

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность,

пересекающую прямую а, а затем из точек А и В тем же, радиусом проводим еще

две окружности. Пусть О – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости,

отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая ОО/ и есть перпендикуляр

к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО/. Треугольники АОВ

и АО/В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О/АС равны по

двум сторонам и углу между ними. Отсюда из углы АСО и АСО/ равны. А так

как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к

прямой а.

3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.

Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой. Возьмем на прямой а

какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем

прямую С, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной

прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет

параллельна прямой а., что следует из равенства накрест лежащих углов,

образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ.

4. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней

точку.

Дано: 1) окружность Х (О, ч)

2) точка А х

Построить: касательную АВ.

Построение.

1. прямая АО (аксиома 2 линейки)

2. окружность Х (А, ч), где ч – произвольный радиус (аксиома 1 циркуля)

3. точки М и N пересечения окружности х1, и прямой АО, то есть {М, N} = х1

АО (аксиома 4 общая)

4. окружность х (М, r2), где r2 – произвольный радиус, такой что r2 r1

Страницы: 1, 2, 3